ブラックホールにはなりません．
運動による質量の増加って，見る方向によって異なるんですよ．昔は「横質量」とか「縦質量」とか言っていたんですが，同一物体に対して複数の質量があるって変ですよね？ 実際現代の相対論では「横質量」「縦質量」なんて使いません．完全な死語です．また加速器などで飛び回る素粒子から見れば，我々や他の恒星が高速で移動していることになります．それで質量が増えてしまうなら…やっぱり変ですよね？
物体や粒子の「質量」とは，それが静止しているように見える観測者が計測した「静止質量」のみを言います．ブラックホールになるかどうかも，この「静止質量」で考えます．
ただし，粒子ではなく構造を持った物体の場合，それを構成している粒子の運動エネルギーも質量（＝静止質量）に寄与します．要するに，物体内部で粒子が運動していても，物体の重心が移動しない，速度ゼロであるなら，静止していると考えるのです．このような静止状態で計測した質量が，その物体の静止質量であり，真の質量と言えます．
例を挙げれば，太陽の質量はそれを構成する原子などの運動エネルギーも含めた質量になります．また陽子や中性子の質量は，それを構成しているクォークの質量（＝静止質量）を加算しただけでは足りません．クォークの運動エネルギーが寄与しているのです．
