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f(x,y)の式が与えられていないものなのに変換できるのでしょうか? ちょっと意味が分からないので教えて下さい。

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回答(2件)

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方針だけ。 まず、計算により x_t=y_s, y_t=-x_s がわかるので x_tt=-x_ss=y_st=y_ts, y_tt=-y_ss, などに注意する。 また、x_s^2+y_s^2=(t^2+s^2)^{-2}でもある. chain ruleにより z_s=z_x x_s + z_y y_s, z_t=z_x x_t + z_y y_t = z_x y_s - z_y x_s だから、解いて z_x=(t^2-s^2)z_s -2st (z_t), (*) z_y = -2st z_s +(-t^2+s^2)z_t (**) となる(zのstによる偏微分とs,tの式で表せる.) おなじようにchain ruleで z_ss= z_xx (x_s)^2 + 2z_xy x_s y_s + (z_yy)(y_s)^2 +z_x x_ss + z_y y_ss, (1) z_tt= ///略(2) z_ts = ... (3) が得られるが、 (1)+(2)より z_ss+z_tt = (z_xx + z_yy)/(t^2+s^2)^2 (4) が得られる. また、(1)- (2)に(*) (**)を併せれば z_xy=(s,tのへんびぶんとs,tの式) (5) を得るが、これを(3)に代入して、 x_s y_s z_xx - x_s y_s z_yy = (s,tの偏微分とs, tの式) (6) を得る. (4), (6)をz_xx, z_yyに関する1次連立微分方程式とみなして解けば、 z_xx=(s,tの偏微分とs,tの式) が得られる.

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