次の集合X 、 Y は集合の濃度が同じ(対等)であるか。
次の集合X 、 Y は集合の濃度が同じ(対等)であるか。 ①対等である場合には対等であることを示す全単射写像 f : X → Y の例を 1 つ挙げ、その写像が全単射であることも証明すること。 ②対等でない場合には X、Y の濃度を述べ、その濃度であることの証明もすること。 (1)X={n∈Z|-10<n<10}、 Y ={y∈R|0<y<1} (2)X={n∈Q|∃k∈Z,n=10k}、 Y ={n∈N|∃m∈N,n=2m} (3)X＝｛x∈R|0<x≦10｝、Y＝｛y∈R|-100≦y<100｝ --------------- きちんと文章で証明することができず困っています。 特に濃度が対等であるとき、 ・全単射像fの作成 ・そのfが確かに全単射であることの証明 この2点が不明です。 自分で作成してみたものも載せてみますので、 間違いも指摘下されば幸いです。 よろしくお願い致します。
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ベストアンサー
(1)は連続濃度とかの定義やそれに関して使っていい定理がわからないのでなんともいえませんが、問題はないと思います。 先に(3)について。 全射の説明が「全射の理由は全射だからだ」としか読めませんでした。 y∈Yについて、これこれのxをとれば、y=f(x)となっている、とできれば一番簡単で、この場合はそのように言えます。 つまり、y∈Yに対して x=(100-y)/20 とおくと、x∈X であり（厳密には証明が必要；1次関数の値域は両端の値で決まるから容易）、f(x)=yだから、fは全射、などとします。 (2)について。 (3)と同様に、x∈Xに対して、f(x)をきちんと定義しましょう。 n∈X に対し、k=n/10 すれば（Xの定義より) k∈Z となり、k>0, つまり、n>0 なら f(n)=4k, k<=0ならf(n)=-4k+2 ということなのでしょうから、まとめて、最初に、 f:X→Y を f(n)= 2n/5 (n>0), (10-2n)/5 (n≦0) で定義する、と書きます。その上で、これが定義になっている(f(n)がYの元である）ことを説明します。 fが単射であることは、f(n)=f(m) ならば n=m であることを示します。n,mが共に正、ともに非負なら明らか（ですが、証明を書いた方がいいです）で、さらに、nが正, mが負の場合も示す必要があります（nが非負、mが正の場合は、n,mを入れ替えれば同じことで、これらですべての場合が尽くされます）。 この場合は、f(n)=f(m)なら、n/10+m/10=1/2 となり、このようなm,nはないから、f(n)=f(m)とはなりえない、ことを説明すればいいはずです(気持ち悪ければ、m≠n ならば f(n)≠f(m) と同じことなので、こう考えてください）。 同様に全射であることも、y∈Y をとり、y=f(n)となるn∈Xが存在することを示します。 y/2 は自然数なので、偶数か奇数。y/2が偶数なら、(k=..., n=...) y/2 が奇数なら (k=..., n=...)とすれば、いずれの場合もy=f(n)となっているので全射である、とすればいいでしょう。 後はご自分で判断してください。
丁寧なご説明を下さり、ありがとうございます。 たいへん勉強になりました。 再度解答を進めておりましたが、 あいにく1点だけ不明点があり、追加質問でございます。 上記本文中の(2)の単射の証明で「～nが正, mが負の場合～、nが非負、mが正の場合」とございますが、具体的にどのように記述すれば正しいのか分かりかねております。 重ね重ねで畏れ入りますが、 ご教示お願い致します。 ※途中経過の画像を添付致します。
質問者からのお礼コメント
丁寧なご説明を下さり、ありがとうございます。 たいへん勉強になりました。
お礼日時：3/5 15:28
