テイラー展開やフーリエ級数展開のように、 関数を対数や指数関数で級数展開したりすることもできのではないですか?

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テイラー展開は微係数の定義を利用した展開法。だから 独立変数のべき乗で表される。 フーリエ級数は,支配方程式から抽出した特性を持つ 固有関数で展開したもの。だから直角座標系だと三角 関数で,極座標系だとベッセル関数,球座標系だと ルジャンドルの多項式といったように,支配方程式が 定義する内積を用いて直交する関数列で展開したもの。 任意に選んだわけではない。任意に選ぶことにメリット が無いから。級数の収束もノルムも証明・定義できないし。