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2021/4/8 11:56

66回答

なんで素数が無限に存在することの証明は背理法が多いのですか? 僕は背理法を用いずに導きました。

補足

ちなみに証明は以下の通りです。 最初の素数の2から3、5、7と順に素数を並べてPまで達したとする。 2×3×5×7×・・・×P=Aと置く。 A/2+A/3+A/5+A/7+・・・+A/P=B と置くとBは2、3、5、7、・・・、Pのどれでも割り切ることができないので別の素因数をBは持つ。

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一番有名なユークリッドの証明は背理法ではないけど 補足について それはユークリッドの証明とほぼ同じ原理では?

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回答させていただきます。 背理法というテクニックは証明法の中では使いやすいからです。 また、この方法は素数が無数にあるかという問いについて、相性が良いのではないかと考えられます。 私も背理法以外の方法で素数が無数に出現することを示せます。

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素数が無限にある証明は,現在ではサイダックによる美しい証明 がある。 「ある整数n を考えると, n と n+1は互いに素なので, n_1 = n (n+1) を考えると,n_1 には少なくとも2つ以上の異なる素数が含まれる。 また,n_1 と n_1 + 1 も互いに素なので n_2 = n_1 * (n_1 + 1) を考えると n_2 に少なくとも,3以上の異なる素数が含まれる。 同様に n_3 = n_2 * (n_2 + 1) n_4 = n_3 * (n_3 + 1) ………… と増やしていくと,異なる素数の数をどこまでも増やしていけるので 素数は無限に存在する。」 質問者さんの証明法がこれと同等以上のレベルなら, 発表したら有名になれるよ。

>最初の素数の2から3、5、7と順に素数を並べて >Pまで達したとする。 >2×3×5×7×・・・×P=Aと置く。 >A/2+A/3+A/5+A/7+・・・+A/P=B >と置くとBは2、3、5、7、・・・、Pのどれでも割り切ること>ができないので別の素因数をBは持つ。 ユークリッド原論のオリジナル版と雰囲気が似てる 素数をいくつか集めて掛け合わせた上で  1を足した数 B は,素数か合成数かのいずれかである。 Bが素数なら,最初に集めた素数とは別の素数である。 また,Bが合成数なら,最初に集めた素数のいずれでも 割りきれないので,素因数に新たな素数を持つ。 こうして素数を増やしていけるので 素数は無限

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有名な論法も背理法に依らずに記述できます。実際ユークリッド自身、背理法を使っていません。

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