x+n=xという方程式の解は実数ではない、ということですか? (n≠0です)

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まあ実数体 R に一点∞を加えて, R∪{∞}に和をRの拡張として, x+∞=∞+x=∞ で定義すれば, x=∞が解にはなりますね. この場合 ∞に足すと 0 になる元が存在しないので, ∞の和に関する逆元はありません。従って加法群ではないので, x=∞のとき, 両辺に-∞を加えてn=0という議論はできません. どこで方程式を考えるかで, 解があったりなかったりですね.

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> 数の世界を拡張すると解が存在するのです。 へー どんな拡張か教えてほしいなあ

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現実的に考えたらどうですか。 財布にあるお金に1000円足したらもともとのお金と同じだった、なんて了解できますか。(n=1000)