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有名な整数問題だそうです 何卒宜しくお願い致します。 以下 問題

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高校数学225閲覧xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">25

回答(2件)

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m,nの少なくともひとつはpの倍数であることはすぐにわかりますよね。 かりにnがpの倍数として、n=kp(k≧2)とおくと 1/m=1/p-1/n=1/p-1/kp=1/p*(k-1)/k k-1とkは互いに素なので、k-1≧2であればk-1はpの2以上の約数となりk-1=p、よってn=p(p+1)でm=p+1。 k-1=1であればn=m=2p。 mがpの倍数としても同様で、求めるものは(m,n)=(p+1,p(p+1)),(p(p+1),p),(2p,2p)。

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対称性いいから自分で大小関係設定していい。m≧n>pの時を考えれば良い。(mとnがp以下だと当然成り立たないのでpより大きい。) 1/p=1/m+1/n≦2/n p<n≦2pより、n=p+1,p+2,…2p-1,2p 1/m=1/p-1/n=(n-p)/npより、n-pがpの約数であればいいので、n-p=1,p(n-p≧1かつpが素数) n=p+1,2p(n≦2p) この時、1/m=1/p(p+1) ,1/m=1/p-1/2p=1/2pなので、 m=p(p+1),2p 対称性崩して、 (n,m)=(p+1,p(p+1)),(p(p+1),p+1),(2p,2p)

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