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高校数学の問題です。 解いてください。 「a^3+b^3-3ab=2020をみたす整数a,bがあればそれを求めよ。」

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回答(3件)

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前問がないと結構鬼畜ですね… 両辺に1を足して a³+b³+1-3ab=2021 a³+b³+c³-3abc =(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)という公式を利用して a³+b³+1³-3ab =(a+b+1)(a²+b²+1-ab-b-a) あとは因数の組み合わせを列挙すればOKです 調べてみたら解説動画あったのでどうぞ https://youtu.be/VI1nAeKeZvA

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a^3+b^3-3ab=2020 (a+b)^3-3ab(a+b)-3ab=2020 (a+b)^3-3ab(a+b+1)=2020 x=a+b,y=abとおく。 a,bはt^2-xt+y=0の解だから D=x^2-4y≧0よりy≦x^2/4 x^3-3y(x+1)=2020 3y(x+1)=x^3-2020 3y=(x^3-2020)/(x+1) x+1=tとおく。 3y=((t-1)^3-2020)/t =(t^3-3t^2+3t-2021)/t =t^2-3t+3-(2021/t) 2021/tが整数になる必要がある。 2021=43×47だからt=±1,±43,±47,±2021 3y=t^2-3t+3-(2021/t) ①t=1のとき 3y=1-3+3-2021=-2020より不適 ②t=-1のとき 3y=1+3+3+2021=2028よりy=676,X=-2 不適 ③t=43のとき 3y=43^2-3×43+3-(2021/43) 3y=40×43-44=1720-44=1676より不適 ④t=47のとき 3y=47^2-3×47+3-43 3y=47×44-40=2028よりy=676,x=46不適 後4つ。自力でどうぞ。