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一般相対性理論と特殊相対性理論に関する質問です。

物理学 | 天文、宇宙121閲覧xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">25

回答(6件)

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一般相対論の中に特殊相対論が含まれます。 アインシュタインは光速の絶対性が成り立つ時空をまず単純な等速直線運動モデルで考え、その後それを慣性系にも拡張したのです。

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特殊相対論は、絶対静止系の大局的な慣性系+一様に流れる絶対時間を時空という背景に置き換えましたたが、大局的な慣性系が有る前提の理論で、これを認めるとある世界線から有る世界線の乗り換えの加速は手段にしか過ぎません。 一般相対論は、この大局的な慣性系なく、局所慣性系における質量の等価原理によって定式化されます。だから ここで特殊相対性原理の「特殊」とは、非慣性系も含めた相対性原理である一般相対性原理に対し、慣性系という「特殊」な系の相対性原理であることを意味しており、ガリレイの相対性原理に対して特殊な相対性原理という意味ではない。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AA%E3%83%AC%E3%82%A4%E5%A4%89%E6%8F%9B 一般相対性理論の成立の過程を見ると §3 でも概観するように紆余曲折を経ている.そのため,発見的な指導原理である「等価原理」に続く指導原理に注目すると,「特殊相対性原理」の拡張としてどのような原理を重視しているかということを明らかにすることは簡単ではない. https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/137423/1/phs_5_21.pdf 一方、ガリレイの相対性原理は、非対称な世界におけるある階層の慣性系での運動の物理法則の同等性をいいますが、光速のような波動に関しては、不十分な面があります。 静止における力のつり合いの法則を運動する物体まで同じ運動や、系で落下の法則が成り立るなどを、波動からみて運動する二重性を定式化が必要になりますので、その波動と運動から、真空中の光速が一定になる、フェルマーの原理を適応してやると、曖昧だった相対性が統一されます。 統一相対論(光速差から生成されるガリレイ系) https://note.com/s_hyama/n/nda939a973f93 本論によるGPS衛星に搭載された原子時計と地表の時計の進み方(波動スピード)の比の厳密解は、 地表の光速度( c ) : 299,792,458 m/s。 地心重力定数( GM ) : 3.986e + 14 m³/s²。 地球半径( r ) : 6,378,000 m。 双曲線無限の波動スピード、 w∞ = √( c² + 2GM / r )。 GPS衛星の高度( h ) : 20,200,000 m。 GPS衛星の軌道速度( v ) : 3,874 m / s。 GPS衛星の波動スピード、 wg = √( w∞² - 2GM /( r + h ) - v² )。 時計の進み方の違い、 wg / c = 1 + 4.45e-10。 https://blog.goo.ne.jp/s_hyama/e/dd632f606e5cf94615ec0c5639a73215

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平坦時空を扱うのが特殊相対性理論です。 一般相対性理論は特殊相対性理論を含みます。 一般相対性理論の中の慣性系と言う”特殊”な場合が特殊相対性理論なのです。 それと、特殊相対性理論は、重力をただの力として考えます。 一般相対性理論では、重力を時空の歪みによって生じる力と考えます。 重力が弱い場所では、二つの理論は近似的に同じになりますが、重力が強い場所では差が出ます。 なお、「特殊相対性理論で扱えるのは、等速直線運動だけ」というのは、素人さんによくある間違いです。「相対論的量子力学」で検索すれば色々出てきますが、これは特殊相対性理論で加速度運動を扱うものです。 https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E8%AB%96%E7%9A%84%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6 古来一般的に距離を測る方法として三角測量が知られていました。 しかし、GPSの原理は全く違います。GPSは光の速度で伝播する電波の速度が秒速 30万キロで一定だという前提で動作しています。 上空の人工衛星から発せられた電波を受信したカーナビは、先ずその衛星が何という衛星でどういう周回軌道 を回っているか、つまり今どこにいるかを軌道計算から把握します。 その衛星から届く電波には正確な時刻が盛り込まれています。 仮に、その衛星が高度3万キロにいたとするとカーナビには0.1秒で届くことになります。この0.1秒かかったという事実を知るにはカーナビに精度の高い時計を持っていればわかります。 そうするとカーナビは衛星の場所と衛星からの距離が分かることになります。 しかし、この「解」は衛星を中心とした球面になり答えは無限になってしまい ます。 ここで人工衛星がもう一つあったとします。すると同じ理屈から、その衛星を中心とした別の球面が出来上がり、2つの球面を合わせた共通解はフラフー プの輪のようになり、カーナビを搭載した自動車はこの輪のどこかに存在することになります。 でも、輪なので答えはまだ無限です。さらに人工衛星がもう一つ あったらどうでしょうか。その衛星を中心とした別の球面が出来上がり、フラフープの輪との共通解は点が2つ(幸運な場合は1つ)できます。4つ目の人工衛 星で解は、ようややく1つになり自分の位置がズバリと特定できるようになります。 ここまでが幾何学的な話でしたが、実は話はもっと複雑になります。人工衛星は高速で地球の周りを飛んでおり積んでいる時計は特殊相対性理論により遅れてきます。 一方、人工衛星は地球の遥か上空にいるために地球重力の影響が弱まり一般相対性理論により積んでいる時計は進んできます。 昔のカーナビはこれら を考慮しなかったため精度が悪かったのですが、最新のカーナビは両方の相対性理論を考慮し補正しているため精度は向上しているようです。

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加速度は微小時間でみると等速直線運動です。従ってGPS衛星が地球の周りを回るのも微小時間では特殊相対性理論が成り立ちます。 また、加速度には重力加速度も含まれます。 従って、GPS衛星と地球との間で発生する万有引力(重力)を一般相対性として考慮する必要が有ります。 特殊相対性理論の効果と一般相対性理論の効果は微々たるものですが、光は1秒間に30万km走るので、微々たる時間の誤差でも距離としての誤差は大きくなってしまいます。 そのため、相対性理論による補正が必要となります。

一般相対性理論は、10連立偏微分方程式というかなり難しい式で表されるので重力源が中心のみにあるといった特殊な条件の場合のみ厳密に解を求めることができます。 従って、重力が弱い場合は特殊相対性理論にて近似的に解を求めます。

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簡単に言えば「特殊相対論の方が計算が簡単」なんです。 もちろん全部一般で計算できますけど、特殊で計算できるのならそっちでやった方が計算が簡単(言い替えればGPS受信機が安く簡単にできる)。 一般でやらなきゃいけないことは仕方が無いとしても、特殊で片付けられるのなら機械が安く出来る(プログラムもふくめて)のでそうしてるわけです。

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