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2021/10/15 9:21

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f(α)=sin(α)+2cos(α/2)  (0<α<π) の最大値を求めよ

数学 | 大学数学45閲覧xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">25

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sinθ=2sin(θ/2)*cos(θ/2)、だから F=sinθ+2*cos(θ/2)=2*cos(θ/2)*(1+sin(θ/2))、である。 cos(θ/2)=α、sin(θ/2)=β、とすると、0<θ/2<π/2より、 α^2+β^2=1 ‥‥①、1≧α>0、1≧β>0 ‥‥②. F=2*cos(θ/2)*(1+sin(θ/2))=2α*(β+1)、である。 ②より、F>0だから、2乗したものを考えて良い。 従って、 F^2/4=α^2*(β+1)^2=①より=(1-β^2)*(β+1)^2、である。 これを微分して、②の条件で増減表を書いて、最大値を求めるとよい。

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f(α)=sin(α)+2cos(α/2) (0<α<π) cos(α/2)=t f(α)=2t√(1-t²)+2t=g(t)(0<t<1) とおく。 https://ja.wolframalpha.com/input/?i=2t%E2%88%9A%281-t%C2%B2%29%2B2t&wal=header g´(t)=0 ⇔ -2t²+√(1-t²)+1=0 ⇔ t=√3/2 増減表略 最大値 g(√3/2)=3√3/2 *もっといい解答がありそー