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2021/10/25 5:36

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dx/dt+ax=0とAd^2x/dt^2+Bdx/dt+Cx=0の特殊解と一般解を教えて下さい。a,A,B,Cは定数です。a,Aは0でないです。

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お礼日時:10/25 8:20

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«dx/dt+ax=0» dx/dt=-ax x≠0のとき dx/x=-adt 両辺積分して ln|x|=-at+k (k=const.) ⇔ |x|=exp(-at+k) ∴ x=±exp(k)exp(-at)≡Kexp(-at) (K≡±exp(k)=const.) K=0のときx=0となり方程式は満たされる 以上より一般解は x(t)=Kexp(-at) (K:任意定数) ◀︎◀︎ «A(d²x/dt²)+B(dx/dt)+Cx=0» 特性方程式 Aλ²+Bλ+C=0 を解いて解を定める 簡単のため左辺をDと定義する i)D>0のとき 特性方程式は異なる2実数解をもつ λ=(-B±√D)/2A よって一般解は x(t) =K₁exp[{(-B+√D)/2A}t] +K₂exp[{(-B-√D)/2A}t] ii)D=0のとき λ=-B/2A よって一般解は x(t) =exp{-(B/2A)t}(K₁+K₂t) iii)D<0 λ=(-B±i√D)/2A よって一般解は x(t) =exp{-(B/2A)t}K₁cos[{(-B+√D)/2A}t] +exp{-(B/2A)t}K₂sin[{(-B+√D)/2A}t]

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質問者2021/10/25 8:20

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