ID非公開
ID非公開さん
2022/1/17 17:56
1回答
R^nの部分空間である"閉"上半平面H^{n}:={(x_1, ..., x_{n}) : x_n >= 0}はR^nに同相でしょうか？
R^nの部分空間である"閉"上半平面H^{n}:={(x_1, ..., x_{n}) : x_n >= 0}はR^nに同相でしょうか？ 同相ではないと考えて，同相写像f : H^n→R^nがあるものと仮定して，矛盾を導こうとして，位相的性質(弧状連結，連結，単連結，コンパクト，etc.)の異なるものを見つけてこようと考えましたが，思いつきませんでした． 位相空間論の簡単な話かもしれませんが，ぜひお願いします．
ベストアンサー
fをそのような同相写像とします。 pをH^nの境界上の点(例えば原点)とすると、H^n\{p}は可縮であり、R^n\{f(p)}はS^(n-1)とホモトピー同値になります。 一方で、S^(n-1)は可縮でない((コ)ホモロジーを使うと分かります)ので、H^n\{p}とR^n\{f(p)}は同相はおろか、ホモトピー同値ですらありません。 これは矛盾なので、同相写像fは存在しません。
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質問者からのお礼コメント
ありがとうございました． 大変参考になりました．
お礼日時：1/17 20:49
