2×2行列A、Bがいずれも逆行列を持たず、A+Bは逆行列をもち、さらに、AB=BAならば、AB=0であることを証明せよ。 この問題の解説をお願いしたいです。
2×2行列A、Bがいずれも逆行列を持たず、A+Bは逆行列をもち、さらに、AB=BAならば、AB=0であることを証明せよ。 この問題の解説をお願いしたいです。
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ベストアンサー
ano さんの解答も面白いです。 少し難しいですが，線形空間論を使っても説明もできます. A が正則でないので, Au=0 を満たす, u≠0 が存在します. 今 Bu=0 とすると, (A+B)u=0 で, A+B は正則なので, u=0 となり不適です. よって Bu≠0 です. 一方 B も正則でないので, Bv=0を満たすv≠0 が存在します. このとき, 同様に Av≠0 です. au+bv=0, a,b∈K とすれば, A をかけて, bAv=0. よって b=0. 同様に B をかけて a=0 が得られるので, u,vは一次独立で, とくに K^2 の基底となります. AB=BA より, ABu=ABv=0. よって, AB=O です.
A をかけて, bAv=0. よって b=0. AB=BA より, ABu=ABv=0. よって, AB=O です. この2つに関してなぜそうなるかがわからないです。
質問者からのお礼コメント
anoさんも補足ありがとうございました。
お礼日時：5/9 19:35
