2×2行列A、Bがいずれも逆行列を持たず、A+Bは逆行列をもち、さらに、AB=BAならば、AB=0であることを証明せよ。 この問題の解説をお願いしたいです。

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

anoさんも補足ありがとうございました。

お礼日時:5/9 19:35

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適当にやったらできてしまった。 まず、A+B, A, B にそれぞれ ケーリー・ハミルトンの公式を適用して (A+B)^2-{tr(A)+tr(b)}(A+B)+det(A+B)E=O A^2=tr(A)A B^2=tr(B)B 下2式を使って1番上の式から A^2とB^2を消すと AB+BA-tr(A)B-tr(B)A+det(A+B)E=O これを整理して (A-tr(A)E)B+(B-tr(B)E)A+det(A+B)E=O を得る。最後の式の両辺にABをかけて AB=BAを適用すると det(A+B)AB=O det(A+B)≠0だからAB=O