nhk********

2022/5/12 16:53

22回答

a, b, c はどの2つも1以外の公約数をもたない正の整数とし、a² + b² = c² を満たしている。 このとき、次の問いに答えよ。 (1) c は奇数であることを示せ。

a, b, c はどの2つも1以外の公約数をもたない正の整数とし、a² + b² = c² を満たしている。 このとき、次の問いに答えよ。 (1) c は奇数であることを示せ。 (2) a, b の1つは4の倍数であることを示せ。

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ベストアンサー

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das********

2022/5/12 17:07

n,kを整数とすると n=2kのとき、n²=4k²を4で割った余りは0 n=2k+1のとき、n²=4k²+4k+1を4で割った余りは1 よって、整数の2乗を4で割った余りは0か1のどちらか (1) cが偶数であると仮定すると、a,bは奇数です。 a²+b²を4で割った余りは1+1=2 c²を4で割った余りは0 となるので矛盾します。 よって背理法により、cは奇数です。 (2) a, b の1つは4の倍数であることを示せ。 上記の余りを考えると、a,bの片方は奇数でもう片方は偶数です。 a,bの内偶数の方をnとします。 nが4の倍数でない、つまりn=4k+2と表せるとすると n²=16k²+16+4 より、n²は8で割ると4余ります。 一方、 (4k±1)² = 16k-8k+1 より、奇数の2乗を8で割った余りは1です。 すると、 a²+b²を8で割った余りは4+1=5 c²を8で割った余りは1 となるので矛盾します。 よって背理法により、nは4の倍数です。 よって、a,bの内どちらかは4の倍数ということになります。

その他の回答（1件）

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アルペジオ

2022/5/12 17:20

これは、原始ピタゴラス数の事。 原始ピタゴラス数は、私の回答の前半の証明部分を書けば、入試でも使える。 従って、高校生でも覚えておいて使いこなしたら良い。 a^2+b^2=c^2、について 恒等式：(m＾2－n＾2)＾2＋(2mn)＾2＝(m＾2+n＾2)＾2、から (a、 b、 c) = (m＾2－ n＾2、 2mn、m＾2 + n＾2)、で求められる。 もちろん、aとbは、反対でも良い。 但し、mと n は互いに素であり、 0 < n < m、m－ n＝奇数 ‥‥①、と言う条件がある。 Ⅰ ①より、m－ n＝k(k：奇数)、とする。 従って、c =m＾2 + n＾2＝(n＋k)＾2+ n＾2＝2(n＾2＋nk)＋k＾2. 2(n＾2＋nk)は偶数、k＾2は奇数だから、その和は奇数。 よって、cは奇数。 Ⅱ ①より、mかnのどちらかは偶数だから、 a＝2mn、or、b＝2mnは、4の倍数。