a, b, c はどの2つも1以外の公約数をもたない正の整数とし、a² + b² = c² を満たしている。 このとき、次の問いに答えよ。 (1) c は奇数であることを示せ。

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これは、原始ピタゴラス数の事。 原始ピタゴラス数は、私の回答の前半の証明部分を書けば、入試でも使える。 従って、高校生でも覚えておいて使いこなしたら良い。 a^2+b^2=c^2、について 恒等式:(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2、から (a、 b、 c) = (m^2- n^2、 2mn、m^2 + n^2)、で求められる。 もちろん、aとbは、反対でも良い。 但し、mと n は互いに素であり、 0 < n < m、m- n=奇数 ‥‥①、と言う条件がある。 Ⅰ ①より、m- n=k(k:奇数)、とする。 従って、c =m^2 + n^2=(n+k)^2+ n^2=2(n^2+nk)+k^2. 2(n^2+nk)は偶数、k^2は奇数だから、その和は奇数。 よって、cは奇数。 Ⅱ ①より、mかnのどちらかは偶数だから、 a=2mn、or、b=2mnは、4の倍数。