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2022/5/14 0:51

77回答

虚数の概念はどうゆう経緯で生まれたんでしょうか?

回答(7件)

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3次方程式の解の公式を発表したのはカルダノ(ただし実際に考え付いたのは別の人)ですが、カルダノが虚数を導入した訳ではありません。公式でルートの中が負になる場合がありますが、彼はその場合を追求しませんでした。 それを追求したのはボンベリという人です。彼はある正の値を解に持つひとつの3次方程式を公式に入れるとルートの中が負になる事から、公式が示す値はこの正の値に等しいはずと考えてこの場合を研究し、今で言う虚数の考えに至りました。ですから虚数の概念を数学に導入した人はこのボンベリだと思います。 ただ、せっかくボンベリが導入した虚数の概念もしばらくは使われませんでした。なにしろ負の数ですらまともな数とは考えられていなかった時代だったので、虚数に至っては「何それ?」状態だったのではないでしょうか。 しかしその後オイラーやガウスの登場により虚数が一般化されて現在に至ります。

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既に3次方程式を解きたいから、という正解の回答が出てるので私は虚数のイメージを書こうかと思います。このような質問が出る背景には虚数がよく分からないものとして認識されているからではないでしょうか?書いてないことを勝手に読み取るのはアレなので虚数のイメージに興味がなかったら無視してください。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ プラス×マイナス=マイナス マイナス×マイナス=プラスでした(これが何故かを説明すると更に100行程度長くなります)。 マイナスを掛ければ符号が変わると考えてもいいですが、そんなの解釈次第なので、ここでは「マイナスを掛ければ0を中心に180度回転される」としてみましょう。 ところでi²=-1でした。 「-1掛けると180度回転する」だったので、-1=i²を使って-1を書き換えると「i²で180度回転する」となります。 i²はiを2回掛けるという操作の省略表記だったので、「iを2回掛けると180度回転する」となります。 ではiを1回掛けると何度回転しますか? 2回で180なんだから、普通は1回で90ですよね。つまりiは1回掛けると90度回転します。 時計回りと反時計回りがありますが適当に反時計回りと決めるとiは0の上にあることがわかります。下に決めても構造的には一緒です。これは数直線の右をマイナスとしても数学的にはあんまり変わんないってのと似ています。 こうして0の真上にiがあることが分かりました。つまり数直線上にはない点としてiがあるのです。私達が勝手に無意味だと考えていた無地の平面に何か意味がある事が示唆されます。この平面を複素平面と言います。実数が数直線なら複素数は数平面です。この平面内の数を複素数と呼び、0から右に3、下に-4行って辿り着く点のことを3-4iなどと表します。0からその点への矢印と見てもいいでしょう(数学的には一緒です)。 平面内の点を複素数と呼ぶので、実は0や2や-3やπなどの実数も複素数です。実数かつ複素数ということです。複素数から実数を取り除いた集合のことを虚数と呼びますが、どう考えても複素数の方が数学的に綺麗であり、虚数のみを扱うのはハッキリ言って筋が悪いので虚数専門の数学はないと思います。そもそも虚数は複素数の一部ですから複素数だけを研究すればいいですね。複素数の分野と聞いても残念ながら私は複素解析ぐらいしか思い付きませんが、たった一つの分野でもかなり応用が効きます。例えば実数での積分が複素数内では簡単に解けるという事がよくあります。 りんごが1,2,3と数えられ、温度が0,-1,-2と測れるように、地図は複素数で対応できます。 東を+,西を-,北を+i,南を-iとすると(4-3i)メートルは東に4m、南に3m行って辿り着く点そのものです。0からその点へ向かう矢印と考えてもいいでしょう。 足し算引き算もベクトル(矢印)のそれと一緒で、不思議なところはないと思います。 掛け算は少し難しいかもです。 まず2×3m=6m。東へ3mの2倍は東へ6mです。 -2×3m=-6m。東へ3mの-2倍は西へ6mです。つまり、マイナス倍は反対方向へ進む操作とみなせます。 2i×3m=6im。東へ3mのi倍は北へ6mです。一見わかりにくいですが、東を反時計回りに90度回転させると北になります。つまり、プラスアイ倍は反時計回りに90度回転させる操作とみなせます。 i×im=-1mも同様に、北に1mを反時計回りに90°回転して、西に1m行くという意味です。 しかしi個や-3個のリンゴはないと考えるのが順当でしょう。想像力を働かせれば出来るかもしれないですが、何を考えても現実世界とは対応出来なさそうです。だからといって「じゃあiや-3は現実に存在しない数なんだな」と考えるのは些か問題があると私は思います。例えば「昼が3個」「北が6個」「空が2つ」と聞いてもすぐに現実世界と対応付けられるでしょうか?ちょっと難しいと思います。こう考えると「そもそも数と現実世界の対応付けが出来るのは稀である」という感覚が芽生えてきます。その感覚を元に考えるとi個や-3個のリンゴはただ単に対応出来てないだけで、寧ろ対応出来てる自然数の方が不思議ではないでしょうか。(自然数とは1,2,3,...という人間が自然と認識出来る数のことです。余談ですが大学数学では数式の綺麗さを重視して0が入ったり入らなかったりします。0は歴史的に見ても現在で見ても勘違いが多い数なので自然に認識するのが出来ない、認識するのが難しい数として考えると自然数に0は入らない、と覚えやすいでしょう。更に余談ですが私は0を入れておきたいです。) まあ昼が2つ、というのを漢字の昼が2つあるとも読めそうな気がしますが、これは大多数の人には納得行かない理屈ではないか、と勝手に私は思っています。意図としてはやはり先に昼という漢字よりかは昼という概念そのものが思い付きやすいでしょう。多分。 一応コピペでこんな長文貼るのはやばいやつだと十分自覚していますが、質問があれば受け付けます。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

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3次方程式を解こうとしたらどうしても必要になったので仕方なく導入された(1545年ごろにカルダノが著書で発表)。当初は方程式を解くためのただの記号扱いだったが、代数学の基本定理を導きだし有用性が認識される。 ついで18世紀にはオイラーの等式(公式)が発見されて、数学で世界一美しい公式,とまで言われるようになるが、虚数にはうさんくささが付きまとっていた。 その虚数のうさんくささが払拭されたのは、19世紀になってから。つまり虚数は300年以上何だかわからないが便利なもの、扱いだった。 だから今の高校生が虚数をうさんくさいと思うのは普通の感覚。

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代数学の基本定理といって、n次方程式にn個の解がある、という自然な解釈のため、ですかね