位置x, 速度v᙮, 加速度a, 時刻t の関係: ここでは、物体はx軸上だけを動くとします。位置xは、時刻tの関数です。 定義として、位置を時刻で微分したものが速度、速度を時刻で微分したものが加速度です。つまり、 dx/dt = v᙮ ① dv᙮/dt = a ② 積分すると積分定数を除いて元に戻るので、次の通りです。 （C₁, C₂, C₃, … は積分定数とします） ∫a dt = v᙮ + C₁ ③ ∫v᙮ dt = x + C₂ ④ 等加速度直線運動だとして、aが時刻に関係なく一定であるします。 aは定数になるので、③の積分の計算は、 ∫a dt = at + C₃ ⑤ つまり、積分定数を改めてC₄ と置き直すと③より v᙮ = at + C₄ ⑥ t=0 のときの v᙮ を v₀ とすると、C₄ = v₀ だから、 v᙮ = v₀ + at ⑦ …答え ---------------------- 画像にある ∫[0→t] a dt は、2つあるtは別物です。混同しやすいのであまり良い書き方ではないと思いますが、計算する場合は ∫[0→t] a dt = at- a･0 = at となります。定積分なので積分定数はありません。 v᙮ = v₀ + ∫[0→t] a dt という式は、もし2つあるtのうち左側のtが0のときは、∫[0→0] a dt = 0 なので、v᙮ = v₀ となります。これは、「t=0 のとき v᙮ = v₀」という問題文の条件に合っています。 また、右辺を（左側の）tで微分すると、 d/dt {v₀ + ∫[0→t] a dt}=d/dt{v₀ + at} = a なので、②の定義に一致します。つまり、 v᙮ = v₀ + ∫[0→t] a dt という式は、問題の条件を見込んで、③～⑦のように積分定数を使う面倒を避けて書いたものです。 ------------------------- 位置については、次の積分の計算で⑦を代入して、 ∫v᙮ dt = ∫(v₀ + at) dt = v₀t + (1/2) at² + C₅ ⑧ つまり④より x = v₀t + (1/2) at² + C₆ ⑨ 問題文より t=0 のとき x=0 なので、C₆=0 したがって、 x = v₀t + (1/2) at² ⑩…答え x = 0 + ∫[0→t] v᙮ dt についても同様に、問題の条件を満たした上で積分定数の出現を避けた形の式です。