ned********

2009/5/20 16:58

11回答

この問題を教えてください。 f'(x)=g'(x)のとき f(x)=g(x)＋C (C:定数) となることを示せ。 平均値の定理を用いて証明してください。

この問題を教えてください。 f'(x)=g'(x)のとき f(x)=g(x)＋C (C:定数) となることを示せ。 平均値の定理を用いて証明してください。

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pgs********

2009/5/20 18:39

f(x)、g(x)が〔ａ、ｂ〕で連続で、（ａ、ｂ）で微分可能のとき、コーシーの平均値の定理より、 ｛ｆ（ｂ）-ｆ（ａ）｝/｛ｇ（ｂ）-ｇ（ａ）｝=ｆ'（ｘ）/ｇ'（ｘ）、ａ＜ｘ＜ｂ （ただし、ｇ（ａ）≠ｇ（ｂ）） を満たすｘが存在します。いま、ｆ'（ｘ）/ｇ'（ｘ）ですから、ｂ→ｘとすれば、 ｛ｆ（ｘ）-ｆ（ａ）｝/｛ｇ（ｘ）-ｇ（ａ）｝→1 すなわち、ｆ（ｘ）-ｆ（ａ）=ｇ（ｘ）-ｇ（ａ） ここで、ｆ（ａ）-ｇ（ａ）=Ｃ（定数）とおけば、 ｆ（ｘ）=ｇ（ｘ）+Ｃ が得られます。