原則として、年金も健康保険も空白期間を作らないよう加入する必要があります。 まず年金ですが、7/15退社だと7/16に前の会社での厚生年金の資格を喪失することになり、前の月である6月分までしか納付していないことになります。 8月分については転職先で加入することになるので、7月分が空白期間になります。 ですので、7月分については国民年金への切り替えが必要で、お住まいの市区町村で手続きを行ってください。 健康保険については、退職日までは前の保険証が使える（＝資格がある）ことになりますが、7/16～7/31が空白期間になります。 先に書いたとおり原則でいえば、この期間も加入が必要です。 国保に切り替えるか、前の会社が加入する健康保険組合等の任意継続を行うことになります。 国保への切り替えの場合は市区町村で、任意継続の場合は前の会社が加入している健康保険組合等で手続きを行ってください。 ただ、健康保険についてはおっしゃるとおり、その期間に病院にかからなければ問題になる可能性は低いとは思います。 また、病院にかかったとしても遡って加入することで、自己負担額との差額の還付を受けることはできます。 しかし、切り替えは退職翌日から14日以内に行うこととされており、これをすぎてしまうと、加入の手続きが済んだ日以降の診療費分しか還付の対象になりません。 例えば、7/31に病院にかかり窓口で10割負担をした場合、それ以降に慌てて国保等への切り替えを行ったとしても7割分の還付は受けられないということです。 文字通り何かあったときのための「保険」ですので、きちんと空白期間を作らないよう加入することをお勧めします。