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今日中に解決したい数学の問題があります。 空間ベクトルの問題です。

nya********さん

2009/6/2418:37:36

今日中に解決したい数学の問題があります。
空間ベクトルの問題です。

問題;4点A(0,0,1),B(2,1,0),C(0,2,-1),D(0,2,1)がある。
点Pがxy平面上を動き、点Qが直線AB上を動くとき、
距離DP、PQの和 DP+PQ が最小となるP、Qの座標を求めよ。


解法のヒントだけでも教えていただけたらすごく助かります。
解る方、よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

hsm********さん

2009/6/2420:52:59

最小経路を求めよ、という問題ですね。
Qから出発してxy平面上の点Pに行き、その後Dに向かう
経路の長さを最小にする、という問題ですが、これは
xy平面に関してDと対称な位置にある点とQを結ぶ直線
の長さと一致します。つまり、直線QCの長さになります。

■理由
xy平面上に点Pを取った時、DとCがxy平面に関し対称で
あることから、PD = PC となります。
したがって、QP+PD = QP + PC
Pを色々動かした時、 QP + PCが最小になるのは
PがQCを結ぶ直線上にあるときだ、というのは分りますね?

今の問題の場合、Q自体も動くので、結局

QCの長さが最小になるような点Qの座標および
QCがxy平面と交わる点Pの座標を求めよ

という話になります。
それでは計算していきましょう。
QはAB上の点なので、パラメータs(0≦s≦1)を使って
次のようにかけます(内分点公式です)。

Q(2s,s,1-s)

よって、QCの長さは次のようになります。

|QC| = √{ (2s)^2 + ( s -2 )^2 + (1-s +1)^2 }
= √{ 6s^2 -8s + 8 }

QCが一番短くなるのは、ルートの中身6s^2 -8s + 8がいちばん
小さくなる時です。

6s^2 -8s + 8
=6( s - 2/3 )^2 -24/9 + 8
=6( s - 2/3 )^2 + 16/3

なので、QCの長さはs=2/3の時最小値√(16/3)= (4√3)/3となります。

したがって、このときのQの座標はs=2/3を代入して
Q( 4/3, 2/3, 1/3)

また、Pの座標は直線QCとxy平面の交点です。
直線QCはパラメータtを使って表すと
x=-4/3 t
y= 4/3 t + 2
z=-4/3 t -1
と表せます(直線のパラメータ表示)
この直線がxy平面と交わるのは、z=0となるとき、すなわち
t=-3/4となるときです。
よって、Pの座標は
P( 1, 1, 0 )

となります。


答え
Q( 4/3, 2/3, 1/3)
P( 1, 1, 0 )

質問した人からのコメント

2009/6/24 23:43:37

感謝 丁寧な解説付きでの回答をありがとうございます。
これをもとに自分でもう一度解いてみます。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

bud********さん

2009/6/2421:38:26

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