四年制大学 工学部 デザイン科を 志望しております高校生です。 高校数学の問題の解答と解説をお願いします。 数Ⅲ 複素数平面の問題です。

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アポロニウスの円ですね。 |z+1|=2|z-2| |z+1|:|z-2|=2:1ですから。 |z+1|^2=4|z-2|^2 (z+1)(z'+1)=4(z-2)(z'-2) zz'+z+z'+1=4zz'-8z-8z'+16 zz'-3z-3z'+5=0 (z-3)(z'-3)=4 (z-3)(z-3)'=4 点3を中心、半径2の円//

|z+1|=2|z-2| 両辺非負より2乗しても同値で |z+1|²=4|z-2|² 3|z|²-9z̄-9z+15=0 |z|²-3z̄-3z+5=0 よって |z-3|²=4 ⇔|z-3|=2 (∵|z-3|,2≧0) より3を中心とする半径2の円 ※展開計算について 展開は暗算でできるようになってください。 |αz+β|²=|α|²|z|²+βᾱz̄+β̄αz+|β|² であることは問題ないですよね。 |z|²の項→z̄の項→zの項→定数項 と順で考えていきます。 ここでz̄の項とzの項の係数は共役になることに注意してください。 |z+1|²=4|z-2|² を展開したい場合は(右辺に寄せるとして) まず|z|²の項は4-1=3 z̄の項は4(-2)-1=-9 zの項はこれの共役をとって-9 (計算しない!!) 定数項は4|-2|²-1=15 となります。 ※平方完成について |z|²-αz̄-ᾱz-k=0 を平方完成すると |z-α|²=k+|α|² となります。(下を展開して上になることを確かめてください) ここで注意してほしいのは、z̄の係数がそのまま絶対値の中身に来ると言うことです。 これを覚えておけば瞬間で終わります。 |z|²-3z̄-3z+5=0 でz̄の係数は-3なので、これを絶対値の中に入れて |z-3|²=○ あとは○の部分を調整して |z-3|²=4 となります。 ※答えについて これがアポロニウスの円になるということは常識にしておいてください。 -1,2からの距離の比が2:1となるような点の軌跡です。 実軸上で1,5を通ることから中心3で半径2の円になることはすぐに見えると思います。 ※なお、複素数平面の問題において、すぐに成分表示をしてしまう癖はつけないようにしてください。自分が成長しません。 基本的に、複素数の形式のまま扱う方が計算が楽になることが多いので、本番でそのような見方ができるようになるために、普段は複素数の形式のまま扱う練習をしましょう。