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独学でも理解できるある程度厳密な解析学の教科書みたいな本を探しています。 小...

aci********さん

2009/10/3019:50:40

独学でも理解できるある程度厳密な解析学の教科書みたいな本を探しています。
小平邦彦さんの解析入門と杉浦光夫さんの解析入門について特にお聞きしたいです。

僕は今高校2年生です。
高校のⅢCまでの数学は高校1年生のあいだに終えました。
2年生から物理の授業が始まり微分積分が役に立つと思ったのですが授業では全く出てこず、参考書を読んでも「高校レベルを超える数学を使うことになる」とか書いてあって少し残念に思っています。

そこで調べてみたのですが、微分積分や線型代数、ベクトル解析というものが物理には使われるようで非常に興味を持ちました。

最寄の図書館に行ってみたのですが、ネットで調べてみて有名だったやつは全くなく、とりあえず厳密性は少し(かなり?)無視してゼロから学ぶシリーズというやつが都合よく微分積分、線型代数、ベクトル解析と3冊そろっていたのでそれで一通り勉強しました。
そこでやはり数学なのでもっと厳密にやってみたいという思いが強くなり、線型代数は書店で見かけた斎藤正彦さんの「線型代数入門」を買って勉強しています。

ベクトル解析は解析学の延長線上にあると聞いたのでまず解析学を勉強しようと思うのですがなにかオススメはないでしょうか?

高木貞治さんの解析概論は読んだことがあるのですが内容云々以前に言葉遣いというか文の雰囲気が読みにくく細かいイライラがたまって集中できそうにありませんでした。

そこでネットを調べてみた結果小平邦彦さんの解析入門か杉浦光夫さんの解析入門かで迷っています。
小平さんのほうは厳密でありながら直感的というキャッチフレーズに惹かれています。
杉浦さんのはうはとても厳密でなんでも書いてあるということで独学にむいてそうと思ったのですが調べてみるとかなり難しいそうで将来物理系の学科に行きたいと思っている僕にとってはすこし厳密すぎるのではないかと思っています。

田舎なので市内の書店どこをさがしても両方ありませんでした・・・
そこで実際に使ってみた人に感想を聞いてみたいと思って質問しました。
できれば両方使ってみた人に比較して答えてもらいたいのですが、片方でもかまいません。
よろしくおねがいします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

kxg********さん

編集あり2009/11/521:22:24

物理学者の書いた古典では;

*寺澤寛一『数学概論』(岩波)
・著者は(大昔の)物理数学の大家で、高木の本よりも古く、高木の本と並び有名。前半では微分法の応用として曲線論の微分幾何的な扱いや複素関数論も取り上げられており、また後半ではもっぱら微分方程式や特殊関数論にあてられている。

同じく物理屋の本でもう少し新しいものとして;

*島和久『微分積分学』(?)
・著者は有名な素粒子論者。一変数と多変数が出ている。かなり厳密に書かれていると思う。



解析学の古典的名著は;

*高木『解析概論』(岩波)
・著者は「類体論」で世界に冠たる代数学者(昔の東大は代数の先生も解析の講義を担当する習慣があったらしい)。用語や記法が古いのが難点。また多変数に弱い(やはり記法の問題で)。フーリエ級数や複素解析などは良いものと思う。最終章はルべーグ積分を扱っている。

*溝畑『数学解析』(朝倉)
・著者は京大の大御所で解析学の専門家。ベクトル解析やその延長にある微分形式にも詳しい。微分方程式など数理的な色彩も強い。

*笠原『微分積分対話』(現代数学社)
・こちらも有名な解析の専門家による著。読み物形式で書かれているが、内容は詳しく注意深い。特に(テイラー・フーリエ)級数展開や正則性のところが良いと思う。

もう少し新しい本では;

*小平『解析入門』(岩波)
・著者はフィールズ賞も受賞した代数幾何学者。とにかく記述が丁寧。特に、多変数の極限や高次元の位相に詳しく、注意深く書かれている(←ここを読んで複素解析の”正則性”の概念がよく分かった。)。

*杉浦『解析入門』(東大出版)
・著者は高木と同じく代数畑の出身(と思う)。高木の現代化を目指して書かれた(らしい)。多変数の解析やベクトル記法に強い。最後は複素解析も扱っている。

もっと新しい本として;

*齋藤(正彦)『微分積分学』(『微分積分教科書』新装版)(東京図書)
・著者は『線型代数入門』で有名な関数解析の専門家(と思う)。『線型~』と違って読みやすく、良書と思う。

*小林(昭七)『微分積分読本』(ショウカ房)
・著者は微分幾何の研究で世界的に高名な幾何学者。一変数と多変数が出ている。新しい教科書の流れをつくり、多くの数学科で採用されている(らしい)。

海外の本では;

*スピヴァック『多変数の微分積分学』(東京図書)
・著者は多様体上の解析学や微分幾何学の方面が専門(のはず)。微分形式、さらには多様体上の解析に詳しい。



注:一変数の微分積分→多変数の微分積分(偏微分・重積分)→ベクトル解析(曲線・曲面上での微分積分)→微分形式(多様体上での微分積分)→微分幾何(リーマン多様体上での微分積分)
という流れがあります。
また、積分論にはリーマン積分論(数Ⅲで登場する区分求積法が相当している)とルべーグ積分論(数学科(と情報系学科)のみが学ぶ,測度論とも呼ばれる,関数解析学や確率論に必須)があります。

高校生の方ですか?物理学科志望の?
上に挙げた教科書の多くは物理学科では使いませんよ(役に立ちませんよ)。
(ルべーグ積分論や関数解析学はその筆頭です。)
たしかに、大学1年生の力学では常微分方程式や重積分が、熱力学では偏微分が、電磁気学ではベクトル解析が登場し、
さらに量子力学では線形代数やフーリエ解析や偏微分方程式(特殊関数)が、流体力学では複素解析が登場しますが、
(加えて素粒子論では群論が、一般相対論では微分幾何が登場しますが、)
これらは物理概念と合わせて学んでいく方が早いし役立ちます。
(物理では実験関係・物質科学関連の科目のウェイトが大きく、そちらの方に時間・労力が必要とされます。)
むしろ、上記のような教科書に興味が持てるようでしたら、数学科の方が向いていると思われます。
(私も物理学科か数学科かで迷った経験があります。結果、物理学科に進学したのですが、少し(かなり)後悔した経験があります。)

微積を用いた高校物理を学びたければ、ぜひ次の受験参考書を読んでみてください;

*山本義隆『物理入門』(駿台文庫)
・著者は素粒子論の出身(東京大学大学院博士課程修了(単位取得退学))で、大学の先生の間でも有名(大学の教科書も書いている)。駿台予備校物理科副主任講師・科学史研究家。文部科学省の学習指導要領の範疇を越えて、物理学という学問への入門を与えている。

質問した人からのコメント

2009/11/5 21:31:10

感謝 ありがとうございます。
数学の方が好きなのは好きなのですが将来的なこともあり物理と迷っているのですが数学を学びすぎて物理に悪影響があるとは思えないので挙げていただいた本を検討してみたいと思います。

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ton********さん

2009/10/3022:32:13

高木貞治さんの解析概論は持っているんですね。だったら、多少、イライラはあるんでしょうが、高木の本が一番じゃないかと思います。わたしは、高木の改訂される以前、カタカナ書きの本を読みましたが、そんなに難しく感じませんでした。(わたしも、一応、戦後生まれですが・・・)高木の本は、易しい本だと思います。解析の入門なら、どの本でも良さそうですが、ある程度厳密でないと、高校の延長になってしまうので、個人的には、多少難しくても、数学科向けに厳密に書かれた本を薦めたいと思います。それでもわからないようでしたら、高校の先生に聞いてみたら?数学科をでた先生なら、知っているでしょうね。

sye********さん

2009/10/3022:05:55

私は杉浦光夫さんの本しか使ったことがありませんが、
私でも読めたので、たぶん質問者さんの学力があれば十分理解できると思います。
難しい過ぎるといわれていますが、
きちんと勉強しようと思ったらどの道これくらいのレベルはクリアしなくてはなりません。

唯一難点を挙げるとすれば、下巻の内容が汎用性にかける点でしょうか。
この辺は別の本で補ったほうがいいです。

また余裕があるのでしたら「集合論・位相空間論」も勉強してみることをオススメします。
「解析学」「線形台数」「集合位相」の3点セットは
たいていの理系大学生が初年度に学習する内容ですので、押さえておいて損はないと思います。

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