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積分についての質問です。

shi********さん

2009/12/1919:53:48

積分についての質問です。

添付した画像のグラフについての問題です。

円の内部をx軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ。
(a,bは定数で、0<a<bとする)

この問題を教えてください。お願いします。

回転体,x軸,体積,積分,グラフ,円環,半径

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ベストアンサーに選ばれた回答

elg********さん

2009/12/1920:18:29

回転体は穴あきドーナツのような形(「トーラス」の一種)になります。
その体積は、図でいうところの円の上半分が描く軌跡によってできる部分の体積から
円の下半分が描く軌跡によってできる部分の体積を引けば求められます。
もともとの円を表す式は x^2+(y-b)^2=a^2 であるので
これを変形すると y=±√(a^2-x^2) +b
を得る。
ここで、y[1]=√(a^2-x^2) +b, y[2]=-√(a^2-x^2) +b
とすれば、回転体の体積Vは
V=π∫[-a,a]y[1]^2dx-π∫[-a,a]y[2]^2dx
=π∫[-a,a](y[1]+y[2])(y[1]-y[2])dx
=π∫[-a,a]2b・2√(a^2-x^2)dx
=4bπ∫[-a,a]√(a^2-x^2)dx
=4bπ∫[-π/2,π/2]a√(1-sin(θ)^2)・a・cos(θ)dθ # x=asin(θ) と置換積分
=4(a^2)bπ∫[-π/2,π/2]cos(θ)^2dθ
=4(a^2)bπ∫[-π/2,π/2](1+cos(2θ))/2 dθ
=4(a^2)bπ∫[0,π/2](1+cos(2θ))dθ
=2(a^2)b(π^2)

質問した人からのコメント

2009/12/20 17:38:17

お二人とも分かりやすい解答ありがとうございました!

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

sio********さん

編集あり2009/12/1923:43:59

これはドーナツ形の体積ですね。平面「y=b」に関して上下対称な図形を回転させてできる回転体の体積は、単に図形の面積と半径bの円の円周の積になります。したがって、体積は(πa^2)(2πb)=2π^2(a^2)b です。

答はすぐ出ましたが、これでは簡単すぎて納得できないかもしれないので、積分でも計算してみます。ドーナツ形を平面 「x=k」(-a≦k≦a) で切った時の断面積は、π(b + √(a^2 - k^2))^2 - π(b - √(a^2 - k^2))^2 = 4πb√(a^2-k^2)=2πb×2√(a^2-k^2)
ここで、一定値である2πbは半径bの円の円周ですし、2√(a^2-k^2)をk=-aからk=a まで積分したものは半径aの円の面積と同じです。

なお、「平面「y=b」に関して上下対称な図形を回転させてできる回転体の体積は、単に図形の面積と半径bの円の円周の積になる」を一般に証明しておきます。

x軸に垂直な平面による回転体の断面は、いくつかの円環で構成されますが、平面「y=b」に関して上下対称な図形を回転させてできる回転体の場合は、「内側の半径 b+m、外側の半径b+n」の円環と、「内側の半径 b-n、外側の半径b-m」の円環が必ずペアになります(0<m<n<b)。ペアの円環の面積の合計は、π{(b+n)^2 - (b+m)^2 + (b-m)^2 - (b-n)^2} = 4πb(n-m) = 2πb×2(n-m)です。2πbは半径bの円の円周、2(n-m)はy方向の円環の幅の合計です。すべての円環のy方向の幅の合計を、x軸に沿って積分したものは元の図形の面積そのものです。(証明終わり)

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