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群論の問題です。

k_3********さん

2010/1/2922:00:35

群論の問題です。

続けてすみません。
群論の問題です。

群Gの二つの正規部分群A,Bについて、(|A|,|B|)=1ならば、AB=A×Bであることを示せ。

という問題で、

①A,BはABの正規部分群である。②G=AB ③A∧B=1

を示せばよいということはわかり、
①は分かったのですが、そのあとが続きません。どなたか分かる方お願いします。

ちなみに(|A|,|B|)=1とは、AとBの位数が互いに素ってことです。

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pui********さん

編集あり2010/1/3000:27:22

Gの単位元をeとする。

順番は前後するが、まず③のA∧B={e}から示す。
|A|,|B|が互いに素だから整数m,nが存在して、|A|m+|B|n=1

A∧Bから任意にxをとる
x=x^(|A|m+|B|n)=x^(|A|m)x^(|B|n)=e*e=e
したがって、A∧B={e}が示された。

次に②のG=ABを示す。
G⊇ABは明らかである
Aの元a,c、Bの元b,dをとったとき、ab=cdとなるとする
c^(-1)*a=d*b^(-1)∈A∧B
③よりA∧B={e}だから、c^(-1)*a=d*b^(-1)=e
よってa=c,b=dがいえる。
したがって、GとABの位数を比較すると、|A||B|≦|AB|≦G=|A||B|となるから
G=ABとなることが言える。

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