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マクローリンの定理を用いて・・・ Sin(1/10)を誤差10^-7以下で求めよ。 また誤...

rin********さん

2010/6/2400:47:35

マクローリンの定理を用いて・・・
Sin(1/10)を誤差10^-7以下で求めよ。
また誤差が10^-7以下になることも説明せよ。

わかる方よろしくおねがいします。

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c18********さん

2010/6/2507:02:27

素直にマクローリン展開を行い、剰余項を計算すればよいのでは。

読みやすいようにf(x)の n 回微分を f(x:n) と表わします。

マクローリン展開は、0 周りでのテーラー展開なのでテーラー定理より

f(x) = f(0)+Σ(k=1→n-1)(1/k!)f(0:k)x^k + (1/n!)f(c:n)x^n
0 < c < x
を満たす c が存在します。( c は、x の値に依存)

F_n(x) = f(0)+Σ(k=1→n-1)(1/k!)f(0:k)x^k
R(x) = (1/n!)f(c:n)x^n (剰余項)
とおくと

「マクローリン展開を用いて x=α 近似値を求めよ」という場合は
近似値として F_n(α) 、このとき誤差は、R(α) になります。

c は、(0,α)の間に在ることしか分からないので具体的に求めることはで
きませんが、R(α)の範囲を絞ることはできます。

(1/n!)α^n min( f(t:n) ) ≦ R(α) ≦(1/n!)α^n max( f(t:n) )
ここで min( f(t:n) )、max( f(t:n) ) は、t が 0 から x まで
変化するときのf(t:n) の最小値と最大値です。

----------------------------

実際に |R(α)|< 10^-7, α=1/10 の条件を満たす最小のn を求めてみます。

f(x)=sin(x) のとき、導関数は
f(x:n) = (-1)^(n/2)sin(x) (n が偶数のとき)
f(x:n) = (-1)^((n-1)/2)cos(x) (n が奇数のとき)


n が偶数のとき f(0:n) = 0 だからnが奇数の場合を考える

cos(1/10) ~ 1, cos(1/10) < cos(c) < cos(0) = 1 を考慮すると cos(c) ~ 1
|R(1/10)|= (1/n!)|f(c:n)|(1/10)^n < (1/n!)10^(-n) ≦ 10^-7

n は奇数で 7 以下はあきらか
n = 5 のとき n! = 5*4*3*2*1 = 120、
|R| = (1/120)10^-5 < (1/100)10^-5 = 10^-7

n = 3 のとき n! = 3*2*1 = 6、
|R| = (1/6)10^-3 > (1/10)10^-3 = 10^-4 > 10^-7

従って n = 5 のとき誤差は初めて 10^-7 以下になる。
このとき
sin(1/10)の近似値は

F_5(x) = f(0)+ f(0:1)x + (1/2)f(0:2)x^2 + (1/3!)f(0:3)x^3 + (1/4!)f(0:4)x^4
= x - (1/3!)x^3
から
sin(1/10) ≒ 1/10 - (1/6)(1/10)^3

電卓で計算すると

sin(0.1) = 0.09833416
1/10 - (1/6)(1/10)^3 = 0.09983333
sin(0.1) - { 0.1 - (1/6)(0.1)^3 } ≒ 8.3× 10^-8

質問した人からのコメント

2010/6/25 07:14:03

降参 詳しい回答ありがとうございました~。

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