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数学の問題!!!!!

gol********さん

2010/6/2609:50:54

数学の問題!!!!!

1+1はなぜ2になるでしょう?

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ind********さん

2010/6/2610:07:53

証明するには前提となる公理系が要請されていなければならない.
1+1=2 は自然数の範囲で示せばいいので,ここではペアノの公理系を採用.

公理
1.先頭元0が存在する.
2.任意の自然数 a にはその後者 suc(a) が存在する.
3~5 は使わないし字数制限もあり省略

ここで,定数記号を定義する.(公理における具体的な定数記号は 0 だけ)
suc(0)=1, (1は suc(0) の略記)
suc(1)=suc(suc(0))=2, (2は suc(suc(0)) の略記)

1+1=2 は足し算なので,それを示すには公理5(数学的帰納法)を使って和が定義され,
これは次の定理を満たすことが証明(省略)される.
定理 単位元 a+0=0+a=a
定理 suc(a)+b=a+suc(b)=suc(a+b)

定理1. suc(a)=a+1
証明 suc(a)=suc(a+0)=a+suc(0)=a+1

定理2. 1+1=2 である.
証明
定理1. でa=1 とすると suc(1)=1+1 である.
1=suc(0)であるから suc(1)=suc(suc(0)) である.
suc(suc(0)) の略記は 2 であるから
1+1=2 である.

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nij********さん

2010/6/2609:59:41

三進法以上での定義ですねっ。

そうでなければ、

1+1=田

一+一=王

1+1=10(2)

(1゜の水)+(1゜の水)=(1゜の水)

おなかの減った一匹のネコと一匹のネズミを一つの狭い檻に入れ続けたお話

1+1=2--->1---->0

基本的にはペアノの公理です。

kjt********さん

2010/6/2609:59:28

それは 2 の定義でしょう.
3~9も同じように定義されているでしょう.そうでなければ 2 とは何?ってなりますよね.

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