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反復試行の確率の問題です。 答えと解法をお願いします。

lit********さん

2010/8/1213:01:28

反復試行の確率の問題です。

答えと解法をお願いします。

2人が同時に、それぞれ1枚の硬貨を投げる試行を続ける。

一方の表の出た回数が、他方の出た回数より2回多くなったとき、試行を終える。

5回目に試行が終わる確率を求めよ。

ただし、硬貨の表の出る確率は1/2とする。

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ベストアンサーに選ばれた回答

osh********さん

編集あり2010/8/1216:19:10

二人をA,Bとします。1回の試行において、
Aが勝つ確率=1/4 ,Bが勝つ確率=1/4、分ける確率=1/2 .となります。

n回目の試行後
|(Aの表の回数)-(Bの回数)|=1 .である確率=p[n]
(Aの回数)=(Bの回数) .である確率=q[n] . . とおくとき

【(n+1)回のあと】
①勝負がつく⇔勝っているほうが勝つ ・・・・・確率 p[n]×(1/4)
②|(Aの回数)-(Bの回数)|=1 となるのは
(ⅰ)p[n]の後、分ける ・・・・・確率 .p[n]×(1/2)
(ⅱ)q[n]の後、一方が勝つ・・・・・確率 .q[n]×(1/2)
よって
p[n+1]=(1/2)(p[n]+q[n]) ・・・・・・・ ・・・(イ)
③(Aの回数)=(Bの回数) となるのは
(ⅲ)p(n)のあと、負けているほうが勝つ・・・・確率 .p(n)×(1/4)
(ⅳ)q(n)の後、分ける・・・・・確率 .q(n)×(1/2)
よって
q(n+1)=(1/4)p(n)+(1/2)q(n) ・・・・・(ロ)
-------------------
p[1]=1/2 ,q[1]=1/2 だから、(イ)(ロ)にもとづいて
p[2]=1/2 ,q[2]=1/8+1/4=3/8
p[3]=7/16 ,q[3]=5/16
p[4]=3/8 ,q[4]=17/64

5回目に勝負が付くのは、p[4]の後、リードしているほうが勝つ場合だから
p[4]×(1/4)=3/32 . . . ・・・・・(答)
-------------------------------------
〔備考〕 egwvg3さんの回答においては
勝つほうが、初めにリードされたり、途中で五分に引き戻される場合が抜けていますね。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

egw********さん

2010/8/1213:35:36

このような問題は4回目までに1回差がつくことを考え、5回目にまた差が付くと考える。
ここで考えられる組み合わせは両者が表、両者が裏、バラバラがあげられる
両者が表、裏である確率は1/2×1/2=1/4
両者が違うものが出る確率は1/2×1/2=1/4、これがAが表、Bが裏とAが裏、Bが表という組み合わせがあるので1/4×2=1/2
1回目に差がつき2~4回目は同じの場合
1/2×1/4×1/4×1/4=1/128
2回目、3回目、4回目も確率は同様であるため1/128
よって1/128×4=1/32となる

だから5回目に試行が終わる確率は1/32である

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