海岸に立って見た時 水平線までの距離は何kmなの? ピタゴラスの定義での計算方法は如何するの?

海岸に立って見た時 水平線までの距離は何kmなの? ピタゴラスの定義での計算方法は如何するの?

天文、宇宙14,899閲覧

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実際の水平線までの距離は、単にピタゴラスの定理だけでは無理です。 光の屈折や、地球の曲率を加味する必要があります。 専門に取り扱う海上保安庁ですら、出版図書で2種類を記載しています。 参考 http://www.toyama-cmt.ac.jp/~mkawai/lecture/tensoku/altcor/distance/distance.html ここの Dh=2.072・(h)0.5は D海里=2.072√hメートル Dh=2.083・(h)0.5は D海里=2.083√hメートル の意味です。 これに従い、目の高さ1.6メートルして 2.072なら2.62089海里=4.8539km 2.083なら2.63481海里=4.8797km となります。 ※1海里=1.852km 単に数学として解くのであれば、前の方のもので良いと思います。

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図のように、地球が半径6378kmの完全な球体と仮定した場合、余り高くない高さh(km)の地点Aから水平線の地点Cまでの距離D(km)は D=112.9√(h) で求めることができます。 なので、もし目の高さが1.6mの人が標高ゼロのところに立って海を眺めた場合、水平線までの距離は1.6m=0.0016kmを上の式に代入して、D=4.52kmと求めることができます。 以下、ピタゴラスの定理を使った計算方法を示します。 図のように、地球を半径R(km)の球とし、地表からh(km)の地点Aから水平線の地点Cを眺めます。この時求めるのは図の赤いACの長さですが、ACとOCは直角に交わるので、ピタゴラスの定理から AC^2+OC^2=AO^2 となります。 図からOC=R、AO=OB+BA=R+hなので AC^2=AO^2-OC^2=(R+h)^2-R^2=2Rh+h^2 となります。 ここで、hは余り高くないとしているので、hはRに比べて十分小さいです。そのため、Rhと比べるとh^2は十分小さく、ほとんど無視していいくらいになるので思い切って無視すると AC^2=2Rh となり、 AC=√(2R)×√(h) と求められます。 ここでR=6378を上の式に代入すれば、√(2R)=112.9となり、 D=112.9√(h) という式が導かれます。 ちなみに余談ですが、近似を用いないBCのカーブの正確な長さは D2=R×arccos{R/(R+h)} で求めることができますが、この2つの式はhが20kmくらいまでは0.1%以下、150kmくらいまでは1%以下の精度でほぼ等しくなりますので、通常我々が体験する高度10km以下の世界であればこの近似は目安としては十分です。 また、実際には下の方が回答されているように、光は大気中で曲がって進むため、物理的な水平線よりも若干向こう側まで見えることになります。

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下の図を見ていただければ一目瞭然です。 直角を挟む2辺は(地球の半径R)と(水平線までの距離x)で、 斜辺は(地球の半径R+人間の目の高さh)ということになります。 詳細は元ネタに譲るとして、 目の高さが1m60cmの人なら、水平線までの距離は4.5km程度です。 http://fun-lemon.tea-nifty.com/blog/2008/01/post_4da3.html

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水平線までの距離は、113×1.06×√目の高さ(km)で求められます 例えば砂浜から身長170cmの人が見た場合だと、113×1.06×√0.0017≒4.9〔km〕になりますね 「目の高さから、水平線まで」、「水平線から、地球の中心まで」(地球半径)「地球の中心から、目の高さまで」 この3つをつなぐと、直角三角形になるので、ピタゴラスの定理を使って「113」「1.06」を算出しているとの事です