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海岸に立って見た時 水平線までの距離は何kmなの? ピタゴラスの定義での計算方法は...

isonokaori203さん

2010/10/2913:58:20

海岸に立って見た時 水平線までの距離は何kmなの?
ピタゴラスの定義での計算方法は如何するの?

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melyana1953さん

編集あり2010/10/2917:29:33

実際の水平線までの距離は、単にピタゴラスの定理だけでは無理です。
光の屈折や、地球の曲率を加味する必要があります。
専門に取り扱う海上保安庁ですら、出版図書で2種類を記載しています。
参考
http://www.toyama-cmt.ac.jp/~mkawai/lecture/tensoku/altcor/distance...
ここの
Dh=2.072・(h)0.5は D海里=2.072√hメートル
Dh=2.083・(h)0.5は D海里=2.083√hメートル
の意味です。
これに従い、目の高さ1.6メートルして
2.072なら2.62089海里=4.8539km
2.083なら2.63481海里=4.8797km
となります。

※1海里=1.852km

単に数学として解くのであれば、前の方のもので良いと思います。

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yuunoji2000さん

編集あり2010/10/2923:03:20

図のように、地球が半径6378kmの完全な球体と仮定した場合、余り高くない高さh(km)の地点Aから水平線の地点Cまでの距離D(km)は

D=112.9√(h)

で求めることができます。
なので、もし目の高さが1.6mの人が標高ゼロのところに立って海を眺めた場合、水平線までの距離は1.6m=0.0016kmを上の式に代入して、D=4.52kmと求めることができます。


以下、ピタゴラスの定理を使った計算方法を示します。

図のように、地球を半径R(km)の球とし、地表からh(km)の地点Aから水平線の地点Cを眺めます。この時求めるのは図の赤いACの長さですが、ACとOCは直角に交わるので、ピタゴラスの定理から

AC^2+OC^2=AO^2

となります。
図からOC=R、AO=OB+BA=R+hなので

AC^2=AO^2-OC^2=(R+h)^2-R^2=2Rh+h^2

となります。
ここで、hは余り高くないとしているので、hはRに比べて十分小さいです。そのため、Rhと比べるとh^2は十分小さく、ほとんど無視していいくらいになるので思い切って無視すると

AC^2=2Rh

となり、

AC=√(2R)×√(h)

と求められます。
ここでR=6378を上の式に代入すれば、√(2R)=112.9となり、

D=112.9√(h)

という式が導かれます。
ちなみに余談ですが、近似を用いないBCのカーブの正確な長さは

D2=R×arccos{R/(R+h)}

で求めることができますが、この2つの式はhが20kmくらいまでは0.1%以下、150kmくらいまでは1%以下の精度でほぼ等しくなりますので、通常我々が体験する高度10km以下の世界であればこの近似は目安としては十分です。
また、実際には下の方が回答されているように、光は大気中で曲がって進むため、物理的な水平線よりも若干向こう側まで見えることになります。

図のように、地球が半径6378kmの完全な球体と仮定した場合、余り高くない高さh(km)の地点Aから水平線の地点C...

編集あり2010/10/2916:31:34

下の図を見ていただければ一目瞭然です。

直角を挟む2辺は(地球の半径R)と(水平線までの距離x)で、
斜辺は(地球の半径R+人間の目の高さh)ということになります。

詳細は元ネタに譲るとして、
目の高さが1m60cmの人なら、水平線までの距離は4.5km程度です。
http://fun-lemon.tea-nifty.com/blog/2008/01/post_4da3.html

下の図を見ていただければ一目瞭然です。

直角を挟む2辺は(地球の半径R)と(水平線までの距離x)で、...

2010/10/2915:04:41

水平線までの距離は、113×1.06×√目の高さ(km)で求められます
例えば砂浜から身長170cmの人が見た場合だと、113×1.06×√0.0017≒4.9〔km〕になりますね

「目の高さから、水平線まで」、「水平線から、地球の中心まで」(地球半径)「地球の中心から、目の高さまで」
この3つをつなぐと、直角三角形になるので、ピタゴラスの定理を使って「113」「1.06」を算出しているとの事です

2010/10/2914:24:12

身長で異なりますが約4km です。

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