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準素イデアルの縮約も準素イデアルである。 このことがよくわかりません。 教え...

muk********さん

2010/11/1117:39:08

準素イデアルの縮約も準素イデアルである。
このことがよくわかりません。
教えて下さい。

教科書には環準同型写像f:A→Bとし、qをBの準素イデアルとすると、A/q^cはB/qの部分環に同型であるからと書かれていました。

q^cはqの縮約です。

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ベストアンサーに選ばれた回答

gan********さん

編集あり2010/11/1214:16:46

一般に可換環Rとそのイデアルaに対し、
aがRの準素イデアル⇔R/a≠0かつR/aの任意の零因子がべき零
となります。また、R/aの任意の零因子がべき零のとき、
R/aの部分環の任意の零因子はべき零です。

準同型定理よりfは単射
A/q^c→B/q
を導きます。このことから、
qがBの準素イデアル⇒B/qの零因子はべき零⇒A/q^cの零因子はべき零
となりますが、A/q^c≠0なのでq^cはAの準素イデアルとなります。

質問した人からのコメント

2010/11/15 04:38:25

ありがとうございます。

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