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S,T∈GL_2(C)を次のようにおく。 S=(i 0) T=( 0 1) (0 -i) (-1 0) Q={E,S,S^2,S^3,...

sciences_of_mathematicさん

2010/11/1412:35:43

S,T∈GL_2(C)を次のようにおく。
S=(i 0) T=( 0 1)
(0 -i) (-1 0)
Q={E,S,S^2,S^3,T,TS,TS^2,TS^3}は4次二面体群D_8とは同型でない位数8の非可換群であることの証明を教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

補足4次二面体群D_8の中心はσをπ/2の回転、τを一つの折り返しとでもすると、{e,σ^2}の二つではないんですか。
間違ってたらすみません。

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ベストアンサーに選ばれた回答

dezaike999さん

編集あり2010/11/1500:01:46

S^2=-E,S^4=E
T^2=-E,T^4=E
⇒S,Tの位数=4
T≠S,S^2,S^3
⇒|Q|=8

S*T=T^3*S⇒右側のTを左に送ることが出来る⇒<S,T>={T^i*S^j}
T^2=S^2であるので、i=0 or 1と出来る
∴<S,T>=Q
また、S*T=T^3*S⇒非可換群

位数4の元がS,S^3,T,T^3と4つあるので、Q≠D4

D4={e,a,a^2,a^3,b,a*b,a^2*b,a^3*b} ただしa^4=e,b^2=e,b^(-1)*a*b=a^3
a*b*a*b=a*b^(-1)*a*b=a*a^3=a^4=e
a^2*b*a^2*b=a^2*b^(-1)*a^2*b=a^2*(b^(-1)*a*b)^2=a^2*a^6=e
a^3*b*a^3*b=a^3*b^(-1)*a^3*b=a^2*(b^(-1)*a*b)^3=a^3*a^9=e
⇒位数4の元はa,a^3の2つ
-----------------------------------------------
補足について

その通りです
上の回答の記号では、Z(D8)={e,a^2}
実際、
b^(-1)*a^2*b=(b^(-1)*a*b)^2=a^6=a^2
⇒a^2の中心化群C(a^2)は<a>,bを含む
⇒|C(a^2)|≧5
⇒C(a^2)=D8

位数8の非可換群は、D8と質問にある群(ハミルトンの4元群)しか有りません。
上記のようにD8には位数4の元が2個しかないので、質問の群はD8でないことが分ります。

別の方の回答は、中心={e}としていますが、|D8|=2^3⇒D8はp群ですので中心は自明ではなく、明らかに間違っています。

質問した人からのコメント

2010/11/15 00:05:24

降参 素早い補足への解答、詳しい解説ありがとうございました。
おかげさまで理解を深めることができました。
もう一方も解答ありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

nbr32nknshさん

2010/11/1414:45:30

S^4 = E, T^2 = S^2 なので,Qはこれで閉じているから,位数8は明らか.
ST = TS^3≠TS なるゆえ非可換群.
中心は{E, S^2}で位数2.他方D_8の中心は{E}のみより成るから位数1.従って同型ではない.

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