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次の例をわかりやすく説明して下さい。 お願いします。 可換環A=k[x,y]と...

muk********さん

2010/11/1819:31:14

次の例をわかりやすく説明して下さい。
お願いします。

可換環A=k[x,y]とおき、q=(x,y^2)とする。
このとき、A/q≡k[y]/(y^2)が成り立つ。
A/qにおける零因子はすべてのyの倍元であり、ゆえにベキ零元である。
したがって、qは準素イデアルで、その根基イデアルpは(x,y)となる。
このとき、p^2⊂q⊂p(狭義の包含関係)が成り立つ。
よって、準素イデアルは必ずしも素イデアルのベキではない。

≡は同型のことです。

代数の準素イデアルのところです。
よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

gan********さん

編集あり2010/11/1913:42:57

・『A/q≡k[y]/(y^2)』について
自然な単射k[y]→k[x,y]により導かれる準同型φ:
k[y]→k[x,y]/qを考える。
任意のf∈k[x,y]はf= g+h (g∈k[y],h∈(x,y^2))
とあらわされるから、φは全射。
g∈k[y]∩qとすると
g = h1x +h2y^2となるh1,h2∈k[x,y]が存在。
g =∑_[n≧0]a_n y^nとしたとき、多項式h1x +h2y^2には
1, yのk倍となる零でない単項式は含まれないから
a_0=a_1=0。すなわち、g =∑_[n≧2]a_n y^n ∈(y^2)⊆k[y]。
よって、k[y]∩q⊆(y^2)。(y^2)⊆k[y]∩qは明らかであるから、
結局、kerφ = k[y]∩q = (y^2)。準同型定理より
k[y]/(y^2)≡A/q。■

・『A/qにおける零因子はすべてyの倍元であり、ゆえにベキ零元である』
同型A/q≡k[y]/(y^2)により、k[y]/(y^2)で考えれば十分。
f'がk[y]/(y^2)の零因子とする。f' = a + by' (a,b∈k) とかける。a≠0ならば
g'= a^(-1) - ba^(-2)y'∈k[y]/(y^2)とすると、f'g' = 1となるから、零因子という仮定
に反するから、a = 0。f'≠0より、f' = by'(0≠b∈k)とあらわせる。■

・『根基イデアルpは(x,y)』
(x,y)⊆r(q)は明らか。一方、k[x,y]/(x,y)≡kとなるから、
(x,y)はAの極大イデアル(であるから素イデアル)。
qの根基イデアルはqを含むAの素イデアルの交わりであるから、
r(q)⊆(x,y)。
よってp = r(q) = (x,y)■

他は、一般論からわかると思います。

質問した人からのコメント

2010/11/20 15:36:59

ありがとうございます。

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