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写像について質問させて頂きたいのですが...。 要素が実数の2×2行列 A=(a,b) ...

jui********さん

2010/11/2616:38:10

写像について質問させて頂きたいのですが...。

要素が実数の2×2行列
A=(a,b)
___(c,d)が

(a) 全射である条件
(b) 全単射である条件

は何になりますか?
導出過程と共にできる限り詳しくお願いしたいですm(_ _)m

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day********さん

編集あり2010/11/2618:04:58

言葉は正しく使いましょう。正しくは「成分が実数の2×2行列Aで表現される1次変換φ(ry 」ではないでしょうか。

(a)
φによる(x,y)の像を考えると、

(a b)(x)=(ax+by)=x(a)+y(b)
(c d)(y) (cx+dy) . (c) . .(d)

x,yを実数の範囲内で任意に動かしたとき、この像がR^2 (xy平面)全体を動かすには、ベクトル(a c),(b d)が1次独立であればよい。

ゆえに、求める条件はdetA=ad-bc≠0


(つまり、rankA=2であればいいのです)


(b)

全射の条件は出ましたから、あとは単射の条件を求めればいいですね。
この場合、単射でない場合を考えた方がいいと思います。

ある2ベクトル(x,y),(x',y')のφによる像は、それぞれ

(ax+by) (ax'+by')
(cx+dy),(cx'+dy')である。


(x)≠(x')かつ(ax+by) (ax'+by')が成立するとき、
(y) . (y'). . .(cx+dy)=(cx'+dy')


連立方程式

ax'+by'=ax+by
cx'+dy'=cx+dy は(x',y')=(x,y)以外の解をもつから、

detA=0(←これは単射でない条件)

ゆえに、単射の条件はdetA=ad-bc≠0

∴全単射は全射かつ単射でしたから、

求める条件は detA=ad-bc≠0のみとなります。

(R^2 においては全射・単射・全単射は同値である、ということ。)

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