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大至急お願いします

jj_********さん

2011/1/2413:58:32

大至急お願いします

四面体OABCあり、AB=4、AC=5、∠BAC=60°、∠OAB=∠OAC=90°、cos∠OBA=2/3で、

(1)三角形ABCの面積は?

(2)辺BCの長さは?
また、辺OAの長さは?

(3)四面体OABCの体積を求めよ。
また、点Aから平面OBCに引いた垂線と平面OBCとの交点をHとするとき線分AHの長さを求めよ。


解説というか途中式もできればお願いします。

補足すみません 数Ⅰで解ける方法をお願いします
ずうずうしくてすみません

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ベストアンサーに選ばれた回答

mas********さん

2011/1/2414:20:15

数Ⅰの問題ですから数Ⅰ以外の知識を使って解くことはまずありません^^

(1)
△ABC
=1/2・AB・AC・sin∠BAC
=1/2・4・5・sin60°
=10・√3/2
=5√3

(2)
余弦定理より
BC^2
=AB^2+AC^2-2・AB・AC・cos60°
=4^2+5^2-2・4・5・1/2
=16+25-20
=21
BC>0なのでBC=√21

cos∠OBA=2/3なので、
tan^2∠OBA
=1/cos^2∠OBA-1
=9/4-1
=5/4
cos∠OBA>0なのでtan∠OBA>0
tan∠OBA=√5/2

OA
=AB×tan∠OBA
=4×√5/2
=2√5

(3)
四面体OABC
=△ABC×OA×1/3
=5√3×2√5×1/3
=10√15/3

三平方の定理より
OB^2
=OA^2+AB^2
=(2√5)^2+4^2
=36
OB>0なのでOB=6

三平方の定理より
OC^2
=OA^2+AC^2
=(2√5)^2+5^2
=45
OC>0なのでOC=3√5

余弦定理より
cos∠BOC
=(OB^2+OC^2-BC^2)/2・OB・OC
=(6^2+(3√5)^2-(√21)^2)/2・6・3√5
=60/36√5
=5/3√5
=√5/3
sin∠BOC
=√(1-cos^2∠BOC)
=√(1-(√5/3)^2)
=√(4/9)
sin∠BOC>0なのでsin∠BOC=2/3

△OBC
=1/2・OB・OC・sin∠BOC
=1/2・6・3√5・2/3
=6√5

四面体OABC
=△OBC×AH×1/3=10√15/3
6√5×AH=10√15
AH=10√15/6√5
. . =5√3/3

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