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「連立合同式 x≡1 (mod 3) , x≡2(mod 5) , x≡3 (mod 11)の整数解をすべて、求めよ...

dre********さん

2011/1/2919:47:22

「連立合同式 x≡1 (mod 3) , x≡2(mod 5) , x≡3 (mod 11)の整数解をすべて、求めよ」という問題の解き方が分かりません。どうやって、やればいいか教えてください。

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giw********さん

2011/1/2920:48:24

まず、最初の条件から、
x=3m+1=5n+2 (m=0,1,2,3,4, n=0,1,2)
となります。
ここから、
3m-5n=1
となるので、これを満たすような m,n を求めると、
m=2,n=1
が直ぐに求まります。
よって、
x≡7(mod 15)
となります。
続いて、
x≡7 (mod 15), x≡3 (mod 11)
も同様に考えると、
15m+7=11n+3 (m=0,1,2,...,10, n=0,1,2,...,14)
15m-11n=-4
となる。
ここで、一旦 m と n の範囲を無視して考えると、
m=-1, n=-1
が直ぐに求まります。
ここから、m, n はそれぞれ 11, 15 を法として
巡回しているので、
m=10, n=14
が求まります。
よって、
x≡157 (mod 165)
となります。
一応、確認してみると、
157=3×52+1=5×31+2=11×14+3
となっていることが分かります。

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