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数学の問題です。 0以上の整数を10進法で表すとき、次の問いに答えよ。ただし、...

aic********さん

2011/2/2514:11:54

数学の問題です。

0以上の整数を10進法で表すとき、次の問いに答えよ。ただし、0は0桁の整数とする。またnは正の整数とする。

(1)各桁の数が1または2であるn桁の整数を考える。それらすべての整数の総和をTnとする。
Tnをnを用いて表せ。

(2)各桁の数が0、1、2のいずれかであるn桁以下の整数を考える。それらすべての整数の総和をSnとする。SnがTnの15倍以上になるのは、nがいくつ以上のときか。必要があれば、0.301<log10 2<0.302および0.477 <log10 3<0.478を用いてもよい。

正直さっぱりです。

解答だけでなく途中計算もよろしくお願いいたします。
(__)

補足(1)だけでもお願いします。

ただしBAは(2)を解答していただいた人を優先します。
(__)

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kam********さん

2011/2/2515:58:06

まず1と2だけでできるn桁の整数は何個あるかを考えます。
各位で1を選ぶか2を選ぶかの2通りの選択を行うので、整数は2^n個あるはずです。
つぎに、各位に注目します。n桁の整数で一番大きな位は10^n-1の位ですが、2^n個の整数のうち、10^n-1の位が1の数が全体の半分にあたる2^n-1個、0^n-1の位が2の数は残り半分の2^n-1個あるはずです。
ですから、10^n-1の位だけを足した総和は
2^n-1*(1+2)*10^n-1 = 2^n-1*3*10^n-1
になります。同じことを10^n-2、10^n-3、…、10^0の位までやって、全部足しあわせればTnが求められますから
Tn = 2^n-1*3*(10^n-1+10^n-2+…+10^0)
となります。これが1番の答えです。

2番ですが、SnはTnと同じ理屈で求められて
Sn = 3^n-1*(0+1+2)*(10^n-1+10^n-2+…10^0) = 3^n-1*3*(10^n-1+10^n-2+…10^0)
となります。
よって
Sn/Tn = 3^n-1/2^n-1
となるので
3^n-1/2^n-1 > 15
になる一番小さいnを探せばいいです。ひとつずつ試して行っても見つかりますが、せっかくヒントで出てる対数を使っておきます。
まず、対数をとって
(n-1)(log3-log2) > log3+log5 = 1+(log3-log2)
すなわち
(n-2)(log3-log2) > 1
になります。ここでヒントを使うと
0.177 > log3-log2 > 0.175
大きいほうの0.177は5倍しても1を超えませんが、小さいほうの0.175を6倍すると1を越えるので
最初のn-2は6になって、最小のnは8になります。

質問した人からのコメント

2011/2/25 18:58:20

ありがとうございます
(^o^)/

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