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フラクタル次元が理解できません。わかりやすく教えてください。

tar********さん

2011/4/2614:20:32

フラクタル次元が理解できません。わかりやすく教えてください。

フラクタル次元は

「フラクタル幾何学においてより細かなスケールへと拡大するにつれあるフラクタルがどれだけ完全に空間を満たしているように見えるかを示す統計的な量である」

とあるのですが、自分の頭ではイメージできず、理解ができません。

複雑さを表しているんですか??

この文をわかりやすく教えてください.

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bee********さん

2011/4/2922:50:29

この説明を書いた人も、自分で言ってることが分かってるのかどうか、分かりにくい説明なので理解できなくてもごもっともです。

フラクタル次元とは、自己相似性図形(フラクタル図形)の次元のことです。

例えば、正方形は、4個並べると相似な正方形が作れます。9個並べても相似な正方形が作れます。
一般に、平面図形では、相似比 n に対して面積は n^2 倍になります。
同様に、立体図形では、相似比 n に対して体積は n^3 倍になります。
このように、相似な図形があるときに、線の長さは n 倍に、面積は n^2 倍に、体積は n^3 倍になります。
このことから、長さは1次元、面積は2次元、体積は3次元の”量”であると言う事ができます。

ここまでは、整数次元のことで、ご存知の通りかと思います。
それでは、小数の次元なんてあるのでしょうか?
そこで、次のような”図形”を考えた人がいました。

まず、図に示したように、1本の線分を考えます。
これを3等分し、真ん中の線分を削除し、図のように60°、120°傾けたものを挿入します。
さらに、全ての線分を3等分し、それぞれの真ん中の線分を削除し、60°、120°傾けたものを挿入します。
これを無限に続けていくと、右上のような図形が出来上がります。
この図形は、描画の手続きにより明確に定義された”図形”ですが、手続きを無限に繰り返すとしたことが、これまでの線や面や立体にはなかったことです。

この図形の長さは、いくらになるでしょうか。
元の長さを 1 とすると、1回目の手続きで 4/3 になり、2回目の手続きで 16/9 になっています。
これを無限に繰り返すのですから、長さは無限大となります。
長さが無限だとすると線ではなく、面なのでしょうか。

そこで、右下の図のように、この図形を半分に切ったものを -30°傾け、上下反転したものと元の図形を比べて見ます。
この図形は、自己相似図形と言って、図形の一部が全体と相似になることが特徴で、上の図形と下の図形は相似です。
相似比は、上の図形の右端から左端までの長さを 1 とすると、下の図形の右端から左端までの長さは (1/2)×(2/√3)=1/√3 です。すなわち、相似比は1/√3 です。
一方、半分に切ったのですから、長さに相当する”量”は 1/2 です。
ここで、この”量”の次元を x 次元とすると、
(1/√3)^x=1/2
となるはずです。
これを解くと、x=2log2/log3≒1.26
すなわち、この図形は1.26 次元の図形であるわけです。

このような次元のことを、フラクタル次元と呼びます。

もっとフラクタル次元が 2 に近いフラクタル図形もあり、そのような図形を描画すると、黒っぽくなります。
それだけ、2次元空間を満たす度合いが強いと考えることができ、ご質問のような表現がされているのだと思います。

この説明を書いた人も、自分で言ってることが分かってるのかどうか、分かりにくい説明なので理解できなくてもごもっともで...

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