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p,q,rを自然数とする。 【1】 p^2+qp+q^2=36を満たすp,qの組(p,q)は何個あるか...

mr2********さん

2011/5/116:02:38

p,q,rを自然数とする。
【1】
p^2+qp+q^2=36を満たすp,qの組(p,q)は何個あるか。
【2】
p^2+q^2+r^2≦17を満たすp,q,rの組(p,q,r)は何個あるか。

解説御願いします<(_ _)>

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zet********さん

2011/5/117:12:47

【1】
p ≦ q のとき

36 = p^2 + pq + q^2 ≧ p^2 + p^2 + p^2 = 3p^2

よって p^2 ≦ 12 となるので p = 1, 2, 3。

p=1 のとき q^2 + q -35 =0 となり、これを満たす自然数 q はない。
p=2 のとき q^2 + 2q - 32 =0 となり、これを満たす自然数 q はない。
p=3 のとき q^2 + 3q - 27 =0 となり、これを満たす自然数 q はない。

q ≦ p のときも同様。

ゆえに求めるp、qの組は0個。

【2】
p ≦ q ≦ r のとき

17 ≧ p^2 + q^2 + r^2 ≧p^2 + p^2 + p^2 = 3p^2

よって p^2 ≦ 17/3 となるので p= 1, 2。

p=1 のとき q^2 + r^2 ≦ 16。よって (q, r) = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)。
p=2 のとき q^2 + r^2 ≦ 13。よって (q, r) = (2, 2), (2, 3)

ゆえに (p, q, r) = (1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,2),(1,2,3),(2,2,2),(2,2,3)。

p ≦ q ≦ r の条件を外して p、q、r の入れ替わりを考えると

1+3+3+3+6+1+3=20個の組がある。

質問した人からのコメント

2011/5/1 17:25:55

笑う ありがとうございました!

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