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数2Bの問題です。教えてください。 いま、実部がp,虚部がqである複素数αにたいし...

kan********さん

2011/5/223:10:24

数2Bの問題です。教えてください。
いま、実部がp,虚部がqである複素数αにたいして√p^2+q^3 を、|α|で表わすことにする。
このとき、係数a,b,cの整数である3次方程式 x^3+ax^2+bx+c=0・・・①

の任意の解をαとすれば|α|は1で、①は1つの正の整数解と2つの虚数解をもつという。
a,b,cはどのような値であるか。

です。お願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

tir********さん

編集あり2011/5/303:29:54

任意の解の大きさが1で正の整数解をもつので
①の1つの解はx=1である。
よって
1+a+b+c=0
が成り立つ。
よって
c=-1-a-b…②
となるので①は
x^3+ax^2+bx-a-b-1=0
⇔(x^3-1)+a(x^2-1)+b(x-1)=0
⇔(x-1){x^2+x+1+a(x+1)+b}=0
⇔(x-1){x^2+(a+1)x+a+b+1}=0
となるので虚数解は
x^2+(a+1)x+a+b+1=0
の解である。
すると
x=(1/2)[-(a+1)±√{(a+1)^2-4(a+b+1)}
となるのでこれが虚数解より
(a+1)^2-4(a+b+1)=(a-1)^2-4(b+1)<0…③
となる。
よって
p=-(a+1)/2
q=√{(4(b+1)-(a-1)^2}/2
とおける。
すると大きさが1だから
p^2+q^2=(a+1)^2/4+{(4(b+1)-(a-1)^2}/4=1
⇔a+b=0…④
となる。
よってaとbは③と④を満たす整数となる。
すると④よりb=-aを③に代入すると
(a-1)^2-4(1-a)=a^2-2a+1-4+4a<0
⇔(a+1)^2<4⇔-2<a+1<2
⇔-3<a<1
よって
a=-2,-1,0
となるから②と③より
(a,b,c)=(-2,2,-1),(-1,1,-1),(0,0,-1)
となる。


※③が虚数解をもつ条件の(判別式)<0に相当します。

質問した人からのコメント

2011/5/5 22:51:20

細かくありがとうございます!

助かりました。

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