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数学Aの質問です

sunshineaquamusicさん

2011/5/922:49:35

数学Aの質問です

質問問題が多数あるため分けての質問をさせていただきます。
<1>AB=4 BC=6 CA=5である△ABCで、∠Aの二等分線、∠Bの二等分線と辺BC、CAとの交点をそれぞれD Eとする。
またADとBEとの交点をPとするときAP:PD=■:2、BP:PE=■:1である。
■には数字1つが入る。

<2>四角形ABCDの辺AB BC CD DAの中点をそれぞれP Q R Sとすると、四角形PQRSは■である。
このときAC=BDならば四角形PQRSは■である。 1つめの■は平行四辺形 2つめは正方形 という言葉がはいるのでしょうか?^^;

<3>△ABCの辺BCを2:1に内分する点をP、辺CAを3:4に内分する点をQとし、線分APとBQとの交点をOとする。
さらに、直線COと辺ABとの交点をRとする。このときAR:RB=2:■であり、AO:OP=2:■である。

上記の問題の解説と解答をおねがいしたく思います。
どうかお願いいたします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

2011/5/1000:00:25

<1> ADは∠BACの二等分線だから
BD:DC=AB:AC=4:5
∴ BD=6*4/(4+5)=8/3
よって (ADは∠BACの二等分線より)
AP:PD=AB:BD=4:(8/3)=3:2

同様に、BEは∠ABCの二等分線だから
AE=5*(4/10)=2
BP:PE=AB:AE=4:2=2:1
---------------------------
<2>中点連結定理より
PS=(1/2)BD=QR ・・・・・・①
PQ=(1/2)AC=SR ・・・・・・②
①②より、□PQRSは2組の対辺が等しいから .【平行四辺形】

①②と AC=BD より PQ=QR=RS=SP となり
□PQRSは 【ひし形】
(AC⊥BDという条件が加わって、はじめて正方形となります)
-------------------------------
<3>チェバの定理より
(AR/RB)*(BP/PC)*(CQ/QA)=1
∴ (AR/RB)*(2/1)*(3/4)=1
AR/RB=2/3 ⇔ AR:RB=2:3

メネラウスの定理より
(AR/RB)*(BC/CP)*(OP/AO)=1
∴ (2/3)*(3/1)*(OP/AO)=1
OP/AO=1/2 ⇔ AO:OP=2:1

以上のようになります。

質問した人からのコメント

2011/5/16 01:28:04

感謝 解答物凄く助かりました★
有難うございますo(^▽^)o

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