ここから本文です

剰余の定理の問題 整式P(x)を(x+1)^2で割ると9余り、(x-1)^2で割ると1...

n_i********さん

2011/5/1820:27:54

剰余の定理の問題
整式P(x)を(x+1)^2で割ると9余り、(x-1)^2で割ると1余る。
このときP(x)を(x+1)^2(x-1)^2で割った余りを求めてください。
あと、まだ1年なので、微分は使わずにお願いします。

閲覧数:
278
回答数:
1
お礼:
500枚

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

ju_********さん

2011/5/1821:38:45

P(x)を4次式(x+1)^2(x-1)^2で割ったときの商をQ(x)、
余りの3次式をa(x+1)^3+b(x+1)^2+cx+dとします。

P(x) = (x+1)^2(x-1)^2Q(x)+a(x+1)^3+b(x+1)^2+cx+d
とおけます。これをさらに変形して、
P(x) = (x+1)^2{(x-1)^2Q(x)+a(x+1)+b}+cx+d

P(x)を(x+1)^2で割ったときの余りはcx+d(商は(x-1)^2Q(x)+a(x+1)+b)となります。
この余りが9になるので、c=0,d=9です。

a(x+1)^3+b(x+1)^2+9を以下のように変形します。
a(x+1)^3+b(x+1)^2+9
= a{(x-1)+2}^3+b{(x-1)+2}^2+9
= a{(x-1)^3+6(x-1)^2+12(x-1)+8}+b{(x-1)^2+4(x-1)+4}+9
= a{(x-1)^3+6(x-1)^2+12x-4}+b{(x-1)^2+4x}+9
= a{(x-1)^3+6(x-1)^2}+12ax-4a+b(x-1)^2+4bx+9
= a{(x-1)^3+6(x-1)^2}+b(x-1)^2+(12a+4b)x-4a+9

よって、
P(x) = (x+1)^2(x-1)^2Q(x)+a(x+1)^3+b(x+1)^2+cx+d
= (x+1)^2(x-1)^2Q(x)+a{(x-1)^3+6(x-1)^2}+b(x-1)^2+(12a+4b)x-4a+9
= (x-1)^2{(x+1)^2Q(x)+a(x-1)+6+b}+(12a+4b)x-4a+9
P(x)を(x-1)^2で割ったときの余りは(12a+4b)x-4a+9(商は(x+1)^2Q(x)+a(x-1)+6+b)となります。
この余りが1になるので、12a+4b=0,-4a+9=1です。
これを解いて、a=2,b=-6です。

ゆえに求める余りは、
2(x+1)^3 - 6(x+1)^2 + 9
= 2x^3 + 6x^2 + 6x + 2 - 6x^2 - 12x - 6 + 9
= 2x^3 - 6x + 5

質問した人からのコメント

2011/5/19 13:37:24

降参 なかなか難しい変形ですね。
でも3回ぐらい読んだら意味わかりました。
ありがとうございました。

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる