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∫(0→π/2)x^2sinxdxの解き方について

x13********さん

2011/5/2918:43:50

∫(0→π/2)x^2sinxdxの解き方について

∫(0→π/2)x^2sinxdxが解けません。
部分積分すると画像のようになります。
画像の中の[f(x)g(x)](a→b)-∫(a→b)f'(x)g(x)dxとなっている部分は理解できますが・・・
その後の式が何故このようになったのがわかりません。
-2∫(0→π/2)sinxdx というのはどこから出てきたものなのでしょうか。

sinxdx,解き方,部分,sinx,f',画像,cosx

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ベストアンサーに選ばれた回答

e27********さん

編集あり2011/5/2918:54:33

2回部分積分を行いますね。(^^♪

∫x^2sinxdx

=∫{x^2・(-cosx)'}dx

=x^2・(-cosx)-∫{(x^2)'・(-cosx)}dx

=-x^2・cosx-∫{2x・(-cosx)}dx

=-x^2・cosx+∫(2x・cosx)dx

=-x^2・cosx+∫(2x・(sinx)'}dx

=-x^2・cosx+2x・(sinx)-∫{(2x)'・(sinx)}dx

=-x^2・cosx+2x・sinx-∫(2・sinx)dx

=-x^2・cosx+2x・sinx-2・(-cosx)+C

=-x^2・cosx+2x・sinx+2cosx+C





描画&検算用サイトです。

こちらをどうぞ。m(__)m

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB0to+pi%2F2%2Cx%5E2*si...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2*sinx

http://www.wolframalpha.com/

質問した人からのコメント

2011/5/29 19:20:21

理解しやすい解説をありがとうございました!
このようなサイトがあるのですね・・・確認に活用させていただきます。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

bli********さん

2011/5/2918:49:17

こんばんは
部分積分ですね

∫x^2sinxdx
=x^2(-cosx)+∫2xcosxdx

第2項をもう一度部分積分します
=x^2(-cosx)+2xsinx-∫2sinxdx
=-x^2cosx+2xsinx+2cosx

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