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大学数学の問題です 1、 Fr(IntY)⊂FrY 2、離散距離空間は完全不連結であ...

s2d********さん

2011/6/917:51:32

大学数学の問題です

1、 Fr(IntY)⊂FrY

2、離散距離空間は完全不連結であることを示せ

3、Rの連結部分集合をすべて求めよ

のどれか解答お願いしますm(._.)m

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mil********さん

2011/6/1220:29:17

1.Fr(IntY)の任意の元xをとる。

x∈Fr(IntY)⊂Cl(IntY)⊂Cl Y=IntY∪FrY

Int(IntY)∩Fr(IntY)=φ かつ Int(IntY)=IntY より x∉IntY。したがって x∈FrY。

2.離散距離空間Xの任意の連結成分Aをとる。Aが空であれば、すべての x∈X に対して A⊊{x} よりAの極大性に反するから、Aは空でないことに注意する。Aが異なる2点x,yを含むとすると、Xが離散距離空間であるから、 {x} および A-{x} はAの相対位相で開集合となる。しかし、 y∈A-{x} かつ A={x}∪A-{x} より、これはAが連結集合であることに反する。したがって、Aは一点集合であり、ゆえに完全不連結である。

3.Rの区間はすべて弧状連結なので連結である。逆に、Rの連結部分集合Aをとる。infA=supAなら明らかにAは区間であるから、infA<supAとする。infA<x<supA となる任意のxを取る。x∉Aとすると、互いに交わらないAの相対位相での空でない開集合 A∩(-∞,x), A∩(x,∞) によってAが分離される。これはAが連結集合であることに矛盾する。よって、x∈A。すなわち

(infA,supA)⊂A

これよりAは区間。以上より、Rの連結部分集合⇔Rの区間である。

質問した人からのコメント

2011/6/16 17:43:07

驚く すごく助かりましたo(^-^)oありがとうございますm(__)m

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