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数学のマクローリン展開の問題です (1)f(x)=√(1+x)にマクローリンの定理を、n=...

tep********さん

2011/6/1321:47:13

数学のマクローリン展開の問題です
(1)f(x)=√(1+x)にマクローリンの定理を、n=2として当てはめた式をかけ

(2)√17=4√(1+1/16)に注意し、この値を1次式で近似して求めよ。

また、この時の誤差を求め、この値は小数第何位まで正確か求めよ。


よろしくお願いします。

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ssk********さん

2011/6/1621:26:42

● マクローリンの定理
y=Σ(k=0→n-1){f^(k)(0)/k!}x^k+{f^(n)(c)/n!}x^n
となるc (0<c<x) が存在する。ただし、f^(k)(x)はf(x)の第k次導関数を表す。特に最終項{f^(n)(c)/n!}x^nは剰余項Rnと呼ばれ、関数yを(n-1)次多項式Σ(k=0→n-1){f^(k)(0)/k!}x^kで近似したときの誤差項という意味を持つ。

(1) n=2の場合、マクローリンの定理は、
y=f(0)+f'(0)x+(f''(c)/2)x^2
となる。ここで、f(x)=√(1+x)=(1+x)^(1/2)とすると、
f'(x)=(1/2)(1+x)^(-1/2)
f''(x)=(1/2)(-1/2)(1+x)^(-3/2)=(-1/4)(1+x)^(-3/2)
これより、f(0)=1、f'(0)=1/2、f''(c)=(-1/4)(1+c)^(-3/2)なので、
y=1+(1/2)x-(1/4){1/(1+c)^(3/2)}x^2 //

(2) (1)の答えは、y=√(1+x)を一次式y=1+(1/2)xで近似した場合の誤差が |-(1/4)(1+c)^(-3/2)x^2|程度となることを示している。
x=1/16とおくと、
√(1+1/16)=1+(1/2)(1/16)=1+1/32=33/32=1.03125
従って、√17=4√(1+1/16)=4×1.03125=4.125 //

誤差は、y=√(1+x)の誤差(1/4){(1+c)^(-3/2)}(1/16)^2 (ただし、0<c<1/16) の4倍である。
(1+c)^(-3/2) は c の単調減少関数であるので、c=0の時の値以上になることはない。
従って、誤差は、最大でも4×(1/4){(1+0)^(-3/2)}(1/16)^2=0.003906…
これより、近似値は少なくとも小数第2位までは正確であることがわかる。

● √17=4.123105626…

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