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和Sn=1*1+4*2+7*2の2乗+10*2の3乗+・・・・・+(3n-2)*2のn-1乗を求めよ。 とゆう...

xxxxxさん

2011/6/2521:30:30

和Sn=1*1+4*2+7*2の2乗+10*2の3乗+・・・・・+(3n-2)*2のn-1乗を求めよ。
とゆう問題で
答が
Sn=(3n-5)*2のn乗+5です。


さっぱりわかりません。
できるだけ詳しく教えてください。
お願いします。

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回答数:
2

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ベストアンサーに選ばれた回答

sei********さん

2011/6/2522:02:48

Sn=1・1+4・2+7・2^2+…+(3n-2)2^(n-1)
2Sn= 1・2+4・2^2+…+(3n-5)2^(n-1)+(3n-2)2^n

Sn-2Sn を2^○が同じ項同士を引き算すると

Sn-2Sn=1・1+3・2+3・2^2+…+3・2^(n-1)-(3n-2)2^n

3・2+3・2^2+…+3・2^(n-1) は初項3公比2の等比数列の2~n項の和

=3(2^n -1)-3=3(2^n -2)

よって
-Sn=1・1+3(2^n -2)-(3n-2)2^n=(5-3n)2^n -5
Sn=(3n-5)2^n +5

質問した人からのコメント

2011/6/25 22:47:06

笑う ありがとうございました

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

dor********さん

編集あり2011/6/2522:20:46

和はΣ(3k-2)2^(k-1)=Σ3K・2^(k-1)-Σ2^(k)
=Σ3K・2^(k-1)-{2(2^(k)-1)/2-1}=Σ3K・2^(k-1)-{2^(k+1)-2}

ここでΣ3K・2^(k-1)は
2Σ3K・2^(k-1)=・・・・・3・2+6・2^2+9・2^3+12・2^4+15・2^5+・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・+3(k-1)・2^(k-1)+3k・2^(k)
-Σ3K・2^(k-1)=・・・3+6・2+9・2^2+12・2^3+15・2^4+・・・・・・・・・・・・・+3(k-1)・2^(k-2)+3k・2^(k-1)
Σ3K・2^(k-1)=-3-3(2+2^2+2^3+2^4+・・・・・・・・・・・・・+2^(k-1))+3k・2^(k)
=3n・2^(n)-3{2(2^(n)-1)}-3=3n・2^(n)-3・2^(n+1)+6-3=3n・2^(n)-3・2^(n+1)+3

よってΣ(3k-2)2^(k-1)=3n・2^(n)-3・2^(n+1)+3-2^(n+1)+2=(3n-8)2^n+5?

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