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∫(2x^2tan^ー1 2x)dxの求め方がわかりません。どなたか教えて下さい。

sta********さん

2011/7/121:29:23

∫(2x^2tan^ー1 2x)dxの求め方がわかりません。どなたか教えて下さい。

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van********さん

2011/7/200:05:57

部分積分を使えば求められます。
(tan^(-1) を arctan と書いてます。)

∫(2x^2tan^(-1) 2x)dx
= (2/3)x^3 arctan(2x) - ∫(2/3)x^3 { 2/(1+4x^2) }dx

ここで、
∫(2/3)x^3 { 2/(1+4x^2) }dx
= (4/3) ∫ x^3/(1+4x^2) dx
= (4/3) ∫ (1/4) (4x^3+x-x)/(1+4x^2) dx
= (1/3) ∫ { (1+4x^2)x/(1+4x^2) - x/(1+4x^2) }dx
= (1/3) ∫ { x - x/(1+4x^2) }dx
= (1/3) { (x^2/2) - (1/8)log(1+4x^2) }

以上より、
(与式) = (2/3)x^3 arctan(2x) - (x^2/6) + (1/24)log(1+4x^2)

質問した人からのコメント

2011/7/6 18:51:15

ありがとうございます!!

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