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円周率ってどうやって計算されているのですか? 円周÷直径と言う人がいるのですが...

sam********さん

2011/9/2215:37:57

円周率ってどうやって計算されているのですか?
円周÷直径と言う人がいるのですがとんでもない桁数まで求められている円周率ですから

有効数字が同じであるとすると、実測で小数点以下何万桁とかまで長さを計っているということでしょうか?

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kda********さん

2011/9/2300:59:46

disciplin1984さんが仰る方法も計算可能ですが,少なくとも世界記録を取るような計算では1度も使われていません.

時系列順に見ると
1)takuya_721113さんの仰る方法.正方形や正六角形から,角数を倍々にして(半角の公式を利用)計算する方法.この方法ではドイツのルドルフが持つ35桁が上限です.
2)arctanという,三角関数の一つtanの逆関数をテイラー展開して計算する手法が取られました.特にマチンの公式(π=16arctan(1/5)-4arctan(1/239))が有名です.
3)計算結果がなぜπになるかの説明に大学以上の数学知識を要する「ガウス・ルジャンドルの公式」や「ボールウェインの4次公式」などが使われました.
4)「チュドノフスキーの公式」という数式を,binary-splittingと言われる手法で計算していく方法が現在の主流です.

それぞれの数式や方法については名前から検索すると意外に簡単に見つかりますので詳細はそちらをご覧ください.数式だけでしたら http://xn--w6q13e505b.jp/formula/ にいろいろな方面の計算が載ってます.

質問した人からのコメント

2011/9/23 18:18:31

皆さんたくさんの方法を教えてくれてありがとうございました

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dis********さん

2011/9/2215:49:20

コンピューターで計算するには、arcsin(x)のテイラー展開

arcsin(x)=Σ[n=0,1,…,∞]{(2n)!/[4^n・ (n!)^2・(2n+1)]}x^(2n+1)
(但し |x|<1 とする)

において、x=1/2を代入した

π/6=Σ[n=0,1,…,∞]{(2n)!/[2^(4n+1)・ (n!)^2・(2n+1)]

という級数和から求めます。

右辺の級数は速く収束するので、コンピューターでの計算に適しています。
右辺の無限個の和を有限個の和で近似して、
πの近似値を求めます。

tak********さん

2011/9/2215:44:50

内接する多角形の外周<理論的な円周<外接する多角形の外周

という考え方。

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