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モンティ・ホール問題でベイズの定理を使うと矛盾が起こる気がするのですが、なぜ...

nic********さん

2011/11/918:08:16

モンティ・ホール問題でベイズの定理を使うと矛盾が起こる気がするのですが、なぜ矛盾が起こるのか教えてください。

モンティ・ホール問題で、

挑戦者側が最初の選択で当たりのドアを選んだとき司会者側は二つのはずれの
ドアのうち一つのドアを選ぶことになりますが、
この時どちらのドアを司会者が選ぶかの確率に偏りがあろうとも、
最終的にモンティ・ホール問題の
「最初の選択を変えた場合2/3の確率で当たりが手に入る」
という答えに影響はないと思ってました。

しかし、ベイズの定理をつかって「司会者が選ぶドアに偏りがあった場合」の
「挑戦者が選択を変えた場合当たりを得られる確率」を求めると
「偏りによって1/2から1に変化する」とでてしまいますし、
そう結論付けている記事をよく見かけます。

なぜこのような矛盾がおこるのか考えてみたのですが分かりません。
分かる方がいれば教えていただけないでしょうか。

よろしくお願いしますm(__)m

補足http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E6%8E%A8%E...
wikipediaのベイズ推定の項ですけど、
ここのモンティ・ホール問題の欄にそのような記事があります。

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ベストアンサーに選ばれた回答

tri********さん

編集あり2011/11/1512:07:34

はじめまして。結論から申しますと、nico_raro_hisaさんの

>「最初の選択を変えた場合2/3の確率で当たりが手に入る」
>という答えに影響はないと思ってました。

という、当初のお考えどおり、影響はありません。

御紹介いただいた、wikiのベイズ推定のモンティ・ホール問題の、
----
なお、Aが当たりである場合に司会者が Bを開ける確率P(B | A) を1/2とせずそのままの形にしておくと、上の式は 1/(P(B | A) + 1) となる。すなわち、Aが当たりである場合に司会者が Bを開ける確率P(B | A)が0から1まで変化すると、B が開いたという前提で、C が当たりである事後確率P(C | B) は1から1/2まで変化するのである。してみると、Aが当たりである場合に司会者が Bを開ける確率P(B | A)が1/2である場合に限って、上の式でC が当たりである事後確率P(C | B) が2/3となることが分かる。 従って、モンティホール問題では、「ただし、回答者が当たりの扉を選んでいる場合は、残りの扉からランダムに1つを選んで開けるとする。」という条件が最も重要であることに留意すべきである。
----
…こっちのほうが間違っています。
モンティ・ホール問題で重要な条件は、
「回答者が当たりの扉を選んでいる場合は、(司会者が)残りの扉からランダムに1つを選んで開けるとする。」
ではなく、
「回答者が当たりの扉を選んでいる場合、司会者が残りの扉のどれを選ぶか、回答者にはまったく情報がない」
ということです。
「Aが当たりである場合に司会者が Bを開ける確率P(B | A)」というのは、あくまで回答者の立場での確率です。
仮に「C が当たりである事後確率P(C | B) は1から1/2まで変化する」としたら、
「Aが当たりである場合に司会者が Bを開ける確率」が、0 から 1 までの間のどこであるかを回答者が"知っている"場合です。
つまり、仮に司会者の扉の選び方に偏りがあったとしても、回答者がそれ(偏り)を知らなければ、「2/3の確率で当たりが手に入る」にまったく影響はありません。

蛇足ですが、私もベイズの定理を使ってモンティ・ホール問題を解いてみました。
御覧いただけたら嬉しいです。
http://philonous.blog111.fc2.com/

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ベストアンサー以外の回答

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doa********さん

編集あり2011/11/1123:41:51

そもそもモンティ・ホール問題自体、状況設定があいまいでそれによるいろんな説が出てきている話ですが、「偏りによって1/2から1に変化すると結論付けている」ものを見たことが私はありません。補足にてその記事の議論を教えていただけないでしょうか。

補足を受けて:
リンク先の記事に合わせて、最初に回答者が選ぶ扉はAと固定しておきます。極端な場合として
・Bが当たりなら司会者はCを開ける
・AかCが当たりなら司会者はBを開ける
という場合を考えてみてください。その場合
「司会者がCを開けた場合には」始めに選択を変えた場合のあたる確率は1で
「司会者がBを開けた場合には」始めには選択を変えた場合にあたる確率は1/2となる。
と言っているわけです。
あくまでCを開けたとBを開けた場合のそれぞれの確率だけを計算したら2/3とは異なる値になるといっているだけです。『「どちらの扉が開いた際にも選択肢を変える」という戦略をとった際にあたりを引く確率』であれば偏りの有無に関わらず2/3になります。
(質問者様の疑問がどこにあるのかがいまいちつかみきれていなくてとんちんかんな回答をしたかもしれません。もう補足もできませんしその場合は改めて質問を立ててください。)

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