高校数学の微分・導関数・接線の問題の質問です。出来れば至急お願いします。

高校数学の微分・導関数・接線の問題の質問です。出来れば至急お願いします。 4次曲線C:y=f(x)=x^4-2x^2上の点P(t,f(t))のおける接線が、P以外の相異なる2点でCと交わるような実数tの範囲を求めよ。 どう解いたらいいか、全く見当がつきません。 数学の得意な方、よろしくおねがいします。

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y'=4x^3-4xですから、点Pにおける接線の方程式は y=(4t^3-4t)(x-t)+t^4-2t^2=(4t^3-4t)x-3t^4+2t^2 となります。 次に、曲線Cとこの接線との共有点のx座標は x^4-2x^2=(4t^3-4t)x-3t^4+2t^2 すなわち x^4-2x^2-(4t^3-4t)x+3t^4-2t^2=0 を解いて得られます。 左辺は、(x-t)^2で割り切れ、実際に割り算を行って (x-t)^(x^2+2tx+3t^2-2)=0 となります。 したがって、2次方程式x^2+2tx+3t^2-2=0が異なる2つの解を持つので t^2-(3t^2-2)=-2t^2+2>0 これから、-1<t<1となります。

その他の回答(2件)

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接線の方程式を求めます y=(4t^3-4t)(x-t)+t^4-2t^2 曲線に代入します x^4-2x^2=(4t^3-4t)x-3t^4+2t^2 x^4-2x^2-(4t^3-4t)x+3t^4-2t^2=0 (x-t)(x^3+tx^2+(t^2-2)x-3t^3+2t)=0 (x-t)^2(x^2+2tx+3t^2-2)=0 x^2+2tx+3t^2-2=0の判別式が正なら2カ所で交わります

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y=f(x)=x^4-2x^2・・・① 接線の方程式は y=(4t^3-4t)(x-t)+(t^4-2t^2) ,,=(4t^3-4t)x-3t^4+2t^2・・・② ①②より x^4-2x^2-(4t^3-4t)x+3t^4-2t^2=0 (x-t)^2{x^2+2tx+(3t^2-2)}=0 条件を満たすのは xの2次方程式 x^2+2tx+(3t^2-2)=0 が x≠t の異なる2つの実数解を持つことなので D/4=t^2-(3t^2-2)=-2t^2+2>0→t^2<1→-1<t<1・・・③ x=tを代入して t^2+2t^2+(3t^2-2)=6t^2-2≠0→t≠±√3/3・・・④ ③④より -1<t<-√3/3、-√3/3<t<√3/3、√3/3<t<1・・・(答)