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大学入試数学問題集数学Ⅰ・A・Ⅱ・B オービタルの204の問題がわかりません。問題...

r3d********さん

2011/11/3000:09:23

大学入試数学問題集数学Ⅰ・A・Ⅱ・B オービタルの204の問題がわかりません。問題は下記のとおりです。解説していただけませんか?

1,3,7,13,21,31… で与えられた数列{an}について、次の問いに答えよ。
(1)一般項anを求めよ
(2)初項から第n項までの和Snを求めよ
(3)n≧4のとき、不等式Sn+1<2Snが成り立つことを示せ


入力が読みにくくて申し訳ないです。
特に(3)で悩んでいます。よろしくお願いします。

補足問題の画像を載せておきました

オービタル,不等式Sn,数列,大学入試数学問題集,n-1,不等式Sn+1,n&gt

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ベストアンサーに選ばれた回答

cdx********さん

2011/11/3012:32:51

1,3,7,13,21,31…
これの差分を取り,{bn}とすると
b1=2, b2=4, b3=6… となり,bn=2nとなります。
an=1+Σ(k=1, k=n-1)2k=1+2*{(1/2)(n-1)(n-1+1)}=1+n(n-1)となります。…(1)
Sn=Σ(k=1, k=n)(1+k(k-1))
ここで1+k(k-1)=1-k+k^2より,
Sn=Σ1-Σk+Σk^2=n-(1/2)n(n+1)+(1/6)n(n+1)(2n+1)
n(n+1)=n^2+n, n(n+1)(2n+1)=(n^2+n)(2n+1)=2n^3+3n^2+nより,
Sn=(1/3)n^3+(5/6)nとなります…(2)

つまり,S4=(1/3)*64+(5/6)*4=148/6=73/3, S5=(1/3)*125+(5/6)*5=275/6となり,S5=275/6<2S4=296/6です。…(3a)
ここで数学的帰納法を利用します。
S(k+1)<2Sk (k>=4)と仮定し,S(k+2)<2S(k+1)を証明すれば良いです。…(3b)
S(k+2)=S(k+1)+a(k+2)
2S(k+1)=2Sk+2a(k+1)
ここでa(k+2)=1+(k+2)(k+1)=k^2+3k+3, 2a(k+1)=2(1+(k+1)k)=2k^2+2k+2
{an}=1,3,7,13,21,31,43,57…より,n>=4では2a(k+1)>a(k+2)です …(3c)

これより,n>=4においてS(n+1)<2Snが証明されます

質問した人からのコメント

2011/12/1 02:16:38

ありがとうございます。助かりました

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