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デデキントの切断について

con********さん

2011/12/1023:37:51

デデキントの切断について

整数の切断では、下組の最大値も上組の最小値も両方が存在する

有理数の切断では、下組の最大値も上組の最小値もどちらもが存在しないか、
下組または上組に最小値、最大値が存在する

ということですが、
整数と有理数の切断で違いがあるのかイマイチ分かりません。

あと、無理数や実数でも切断できるのですか?


よろしくお願いします。

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clickyさん

2011/12/1107:02:48

※デデキントの切断は実数の連続性の公理(実数の特徴)に使われる手法です。デデキントの切断によって、実数全体と、その部分集合の、有理数や無理数の違いが明確になります。

具体的に例を挙げれば理解できます。
以下では、その集合のデデキント切断を(A,B)で表します。

(1) 整数Z
切断の条件に用いる数は、整数と整数以外で分けるとよいでしょう。
(i) x<1 を満たすか満たさないかでZを切断すると
A={…,-2,-1,0}, B={1,2,3,…}
(ii) x≦1 を満たすか満たさないかでZを切断すると
A={…,-2,-1,0,1}, B={2,3,4,…}
(iii) x>1/2 を満たすか満たさないかでZを切断すると
A={…,-2,-1,0}, B={1,2,3,…}
いずれの場合でも、Aには最大値が、Bには最小値が必ず存在します。

(2) 有理数Q
切断の条件に用いる数は、有理数と無理数で分けましょう。
(i) x<1 を満たすか満たさないかでQを切断すると
A = { x∈Q | x<1 }
B = { x∈Q | 1≦x }
Aは最大値無し、Bは最小値が1∈Q
(ii) x>1 を満たすか満たさないかでQを切断すると
A = { x∈Q | x≦1 }
B = { x∈Q | 1<x }
Aは最大値が1∈Q、Bは最小値無し
(iii) x<√2 を満たすか満たさないかでQを切断すると
A = { x∈Q | x<√2 } (条件の不等式に等号を含んでも構いません)
B = { x∈Q | √2<x } (同上)
Aは最大値無し、Bは最小値無し

(3) 無理数
切断の条件に用いる数は、無理数と有理数で分けましょう。
・無理数を使うと、『下組の最大値有り、上組の最小値無し』または『下組の最大値無し、上組の最小値有り』
・有理数を使うと、『下組の最大値無し、上組の最小値無し』
となります。自分で確かめてください。

(4) 実数R
切断の条件に用いる数がどんな数(実数)であっても、『下組の最大値有り、上組の最小値無し』または『下組の最大値無し、上組の最小値有り』です。
A = { x∈R | x≦a }
B = { x∈R | a<x }
であるか
A = { x∈R | x<a }
B = { x∈R | a≦x }
であるかのどちらかです。

質問した人からのコメント

2011/12/17 20:47:16

驚く わかりました!!
ありがとうございます

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