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P君に2人の女友達A子さん、B子さんがいる。あるとき、P君が自宅を 出発して...

agumomoroさん

2006/3/2318:40:54

P君に2人の女友達A子さん、B子さんがいる。あるとき、P君が自宅を
出発してA子さんの家へ向かった。しかし、自宅からA子さんの家まで
の距離の1/3進んだところで、思いなおしてB子さんの家へ向かった。
そして方向を変えた地点からB子さんの家までの距離の2/3行ったところで、
また気が変わりA子さんの家へ向かった。そこから1/3進んでまたB子さんの
家へ向かった。このようにしてP君はA子さんの家へ方向を変えてから
1/3進んでB子さんの家へ方向を変え、それから2/3進んでからA子さんの
家へ向かって進むものとする。この迷えるPくんの究極の動きを記述せよ。
ただし、A子さん、B子さん、P君の3人の家は鋭角三角形の3頂点の
位置にあり、P君は方向を変えてから次に方向を変えるまでは必ず
直進するものとする。 (鳥取大学)

この問題の答えを教えてください。

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ベストアンサーに選ばれた回答

puit578さん

編集あり2006/3/2618:48:08

A子さんの家の座標を(1,0)とB子さんの家の座標を(-1,0)と置くことにする。

P君の家の座標を(x_0,y_0)
A子さんからB子さんへとn回動いた後のP君のいる座標を(x_n,y_n)
(x_(n+1),y_(n+1) )と(x_n,y_n)の関係を求める。
( x_n,y_n )からA子さんへ1/3進むと
(x_n-{(x_n)+1}/3,y_n-(1/3)y_n)=( (2/3)(x_n)-1/3,(2/3)y_n)
この点から、B子さんへ2/3進むと
( (2/3)(x_n)-1/3+(2/3)[1-{(2/3)(x_n)-1/3}],(2/3)y_n-(2/3){(2/3)y_n})=( (2/9)x_n+5/9,(2/9)y_n)となる。
この座標が、(x_(n+1),y_(n+1) )に等しいから
x_(n+1)=(2/9)x_n+5/9,y_(n+1)=(2/9)y_n
x_nとy_nの一般項を求めると
x_n=5/7+(2/9)^n*(x_0-5/7)
y_n=(2/9)^n*y_0

したがってn→∞のときx_n→5/7,y_n→0
(2/3)(x_n)-1/3→1/7,(2/3)y_n→0

よってP君は家を出てしばらくすると、点(5/7,0)(A子さんとB子さんの家を4:3の比で内分する点)と点(1/7,0)(A子さんとB子さんの家を6:1の比で内分する点)を延々と往復するようになる。

ベストアンサー以外の回答

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2006/3/2417:28:23

次第に線分ABを4:3に内分する点と6:1に内分する点を結ぶ線分に近づきます。
図を見るとわかり易いので付けておきます。
http://www.jyty.info/diving/quiz/a060324.html

kero_3rdさん

2006/3/2321:26:43

餓死?


ごめん。わかりません。次の方、よろしくおねがいします。

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